Die Aufgabe

Gegeben sind die Funktionen f_a durch

     $y = f_{a}(t) = \frac{2\cdot e^{at}}{e^{at}+29}$, $t\in R, a\in R, a>0$

Ihre Graphen werden mit G_a bezeichnet.

a) aa) Untersuchen sie das Verhalten der Funktionen f_a für t -> $\pm \infty$ und geben sie für die Asymptoten Gleichungen an.

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ab) Zeigen sie, dass alle Funktionen f_a monoton steigend sind.

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b) ba) Untersuchen sie die Funktionen f_a auf Nullstellen und lokale Extremstellen.

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bb) Jeder Graph G_a bestitzt genau einen Wendepunkt W_a

Zeigen sie, dass die Wendepunkte W_a auf einer parallelen zur t-Achse liegen.

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bc) Zeichnen sie die Graphen G_0,75 und G₁ in ein und dasselbe Koordinatensystem und schlussfolgern Sie, welchen Einfluss der Parameter a auf den Verlauf der Graphen G_a hat.

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c) Der Graph G₁, die t-Achse und die Gerade mit der Gleichung t = ln(29) begrenzen eine Fläche.

Berechnen Sie die Maßzahl des Inhalts dieser Fläche.

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Durch die Funktion $f_{0,04}(t)$ für $0\leq t\leq 200$ (t in Tagen) kann das Wachstum von Sonnenblumen beschrieben werden, wobei $f_{0,04}(t)$ die Höhe (in m) der Pflanzen zur Zeit t bedeutet.

d) da) Berechnen Sie die Höhe einer Sonnenblumenpflanze nach 10, 50 und 150 Tagen.

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db) Berchnen Sie, wann die Wachstumsgeschwindigkeit einer Sonnenblumenpflanze am größten

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dc) Erläutern Sie die Grenzen dieser mathematischen Modellbildung.

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