Lösung a) ab)

$y = f_{a}(t) = \frac{2\cdot e^{at}}{e^{at}+29}$, $t\in R, a\in R, a>0$

Zeigen Sie, dass alle Funktionen f_a monoton steigend sind

$f'_{a} (t) = \frac{2\cdot a\cdot e^{at}\cdot (e^{at} + 29) - 2\cdot e^{at}\cdot a\cdot e^{at} }{(e^{at}+29) ^{2} } = 2\cdot a\cdot \frac{(e^{at}) ^{2} + 29\cdot e^{at} - (e^{at}) ^{2} }{(e^{at}+29) ^{2}} = \frac{58\cdot a\cdot e^{at} }{(e^{at}+29) ^{2}}$

Suche nach möglichem Extrempunkt; falls kein Extrempunkt vorhanden ist, zeigt dies, dass die Funktion monoton steigend oder fallend sein muss.

$f'_{a}(t) = 0 \Rightarrow 58\cdot a\cdot e^{at} = 0 \Rightarrow e^{at} = 0$ (f)

Da die e-Fkt. nie 0 werden kann, sondern dieser sich immer nur annähert, gibt es keine mögliche Stelle für einen Extrempunkt. Somit lässt sich folgern, dass die Funktion entweder streng monoton steigend oder fallend ist.

Beweis dafür, dass die Funktion streng monoton steigend ist:

Da man nun weiß, dass es keinen Extrempunkt gibt, an der sich das Monotonieverhalten ändern kann, lässt sich sehr leicht aus den Grenzwerten gegen $\pm \infty$, die man berechnet hat.

Der Grenzwert $t -> - \infty$ geht gegen 0
Der Grenzwert $t -> \infty$ geht gegen 2
Herleitung findet ihr hier nochmal

Anhand dieser Grenzwerte und dem fehlenden Extrempunkt geht deutlich hervor, dass die Funktion einen streng monoton steigenden Verlauf nimmt, der sich 0 und 2 annähert

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