Die Aufgabe

Die Folgende Aufgabe ist aus einer LK ABITURPRÜFUNG aus dem Jahre 2004 in Sachsen-Anhalt.

Sie sollte von euch in jedem Fall zuerst bearbeitet werden und anschließend erst mit Hilfe der Links zu den Lösungen seine eigenen Ergebnisse kontrolliert werden. Für diejenigen, die sich sehr sicher sind, stehen die Lösungen der Aufgaben zusammengefasst unter der jeweiligen Teilaufgabe. Diese sollten allerdings in jedem Fall erst nach Lösung der Aufgabe aufgedeckt werden.

Gegeben sind die Funktionen f_a durch

$y = f_{a}(t) = \frac{2\cdot e^{at}}{e^{at}+29},\;\;\;\;\;$ $t\in R, a\in R, a>0$

Ihre Graphen werden mit G_a bezeichnet.

a)

• Untersuchen sie das Verhalten der Funktionen f_a für t gegen $\pm \infty$ und geben sie für die Asymptoten Gleichungen an.

• Zeigen sie, dass alle Funktionen f_a monoton steigend sind.

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- Für $- \infty$ geht der Grenzwert gegen 0 und für $+ \infty$ geht er gegen 2
- Es gibt 2 waagrechte Asymptoten mit den Gleichungen $a(x) = 0\;$ und $b(x) = 2\;$
- Der Graph der Funktion ist streng monoton steigend

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b)

• Untersuchen sie die Funktionen f_a auf Nullstellen und lokale Extremstellen.

• Jeder Graph G_a bestitzt genau einen Wendepunkt W_a. Zeigen sie, dass die Wendepunkte W_a auf einer parallelen zur t-Achse liegen.

• Zeichnen sie die Graphen G_0,75 und G₁ in ein und dasselbe Koordinatensystem und schlussfolgern Sie, welchen Einfluss der Parameter a auf den Verlauf der Graphen G_a hat.

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- Die Funktion bestitzt keine Nullstellen und Extrempunkte
- Der Wendepunkt liegt bei $(\frac {ln29}{a}|1)$; anhand des y-Wertes lässt sich die Unabhängigkeit von a erkennen, dass alle Wendepunkte W_a auf einer Parallen zur t-Achse liegen

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c)

• Der Graph G₁, die t-Achse und die Gerade mit der Gleichung $t = ln(29)\;$ begrenzen eine Fläche. Berechnen Sie die Maßzahl des Inhalts dieser Fläche.

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- Der Flächeninhalt geht gegen den Wert $A = 2\cdot ln2$

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Durch die Funktion $f_{0,04}(t)\;$ für $0\leq t\leq 200$ (t in Tagen) kann das Wachstum von Sonnenblumen beschrieben werden, wobei $f_{0,04}(t)\;$ die Höhe (in m) der Pflanzen zur Zeit t bedeutet.

d)

• Berechnen Sie die Höhe einer Sonnenblumenpflanze nach 10, 50 und 150 Tagen.

• Berchnen Sie, wann die Wachstumsgeschwindigkeit einer Sonnenblumenpflanze am größten

• Erläutern Sie die Grenzen dieser mathematischen Modellbildung.

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- Nach 10 Tagen ist die Sonnenblume 9,8cm hoch, nach 50 Tagen ist sie 40,6cm hoch und nach 150 Tagen ist sie 186,6cm hoch
- Die Wachstumsgeschwindigkeit ist am Wendepunkt WP am größten; dieser ist nach ca. 84 Tagen erreicht

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