Lösung c)

$f_{1} (t) = \frac {2\cdot e^{t}} {e^{t} + 29}$

Der Graph G₁, die t-Achse und die Gerade mit der Gleichung $t = ln(29)\;$ begrenzen eine Fläche. Berechnen Sie die Maßzahl des Inhalts dieser Fläche

Um den Flächeninhalt in dem Teilstück, welches der Graph G₁ mit der t-Achse und der Geraden mit der Gleichung $t = ln29 \;$ einschließt, muss man das Integral mit der oberen Grenze $t = ln29 \;$ und der unteren Grenze $- \infty$ bilden.

Zu beachten ist hierbei, dass ein Grenzwert benötigt wird, der gegen $- \infty$ läuft, da man $- \infty$ nicht für t einsetzen darf.

$A = \lim_{a \to -\infty } \int_a^{ln29} \! f_{1}(t) \, dt =$

$= \lim_{a \to -\infty } \int_a^{ln29} \! \frac {2\cdot e^{t}} {e^{t} + 29} \, dt =$

$= \lim_{a \to -\infty } \int_a^{ln29} \! 2\cdot \frac {e^{t}} {e^{t} + 29} \, dt =$

$= \lim_{a \to -\infty } 2\cdot \int_a^{ln29} \! \frac {e^{t}} {e^{t} + 29} \, dt =$

$= \lim_{a \to -\infty } 2\cdot \left[ln(e^{t} + 29)\right]_{a}^{ln29} =$

$= 2\cdot [ln(29 + 29) - \lim_{a \to -\infty } ln(e^{a} + 29)] =$

$= 2\cdot [ln58 - \lim_{a \to -\infty } ln(e^{a} + 29)] =$

$= 2\cdot [ln58 - ln29] = 2\cdot ln(\frac {58} {29})= 2\cdot ln2$

Der Schritt der Integralbildung, also von $\lim_{a \to -\infty } 2\cdot \int_a^{ln29} \! \frac {e^{t}} {e^{t} + 29} \, dt$ zu $\lim_{a \to -\infty } 2\cdot \left[ln(e^{t} + 29)\right]_{a}^{ln29}$ ist eines der Grundintegrale, welches besagt, dass das Integral der 1. Ableitung einer Funktion f geteilt durch die Funktion f der $ln\;$ der der Funktion ist. Dies steht in der Formelsammlung auf Seite 67 (vgl. J. Lindauer Verlag: Mathematische Formeln und Definitionen, München 2008)

Zurück zur Aufgabe