Die Aufgabe: Unterschied zwischen den Versionen

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Gegeben sind die Funktionen f<sub>a</sub> durch
 
Gegeben sind die Funktionen f<sub>a</sub> durch
  
       <math>y = f_{a}(t) = \frac{2e^{at}}{e^{at}+29}</math>, <math>t\in R, a\in R, a>0</math>
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       <math>y = f_{a}(t) = \frac{2\cdot e^{at}}{e^{at}+29}</math>, <math>t\in R, a\in R, a>0</math>
  
 
Ihre Graphen werden mit G<sub>a</sub> bezeichnet.
 
Ihre Graphen werden mit G<sub>a</sub> bezeichnet.

Version vom 3. Januar 2010, 15:16 Uhr

Gegeben sind die Funktionen fa durch

     y = f_{a}(t) = \frac{2\cdot e^{at}}{e^{at}+29}, t\in R, a\in R, a>0

Ihre Graphen werden mit Ga bezeichnet.

a) aa) Untersuchen sie das Verhalten der Funktionen fa für t -> \pm  \infty
         und geben sie für 
       die Asymptoten Gleichungen an.

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   ab) Zeigen sie, dass alle Funktionen fa monoton steigend sind.

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b) ba) Untersuchen sie die Funktionen fa auf Nullstellen und lokale Extremstellen.

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   bb) Jeder Graph Ga bestitzt genau einen Wendepunkt Wa
       Zeigen sie, dass die Wendepunkte Wa auf einer parallelen zur t-Achse liegen.

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   bc) Zeichnen sie die Graphen G0,75 und G1 in ein und dasselbe Koordinatensystem und 
       schlussfolgern Sie, welchen Einfluss der Parameter a auf den Verlauf der Graphen Ga hat.

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c)     Der Graph G1, die t-Achse und die Gerade mit der Gleichung t = ln(29) begrenzen eine Fläche.
       Berechnen Sie die Maßzahl des Inhalts dieser Fläche.

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Durch die Funktion f_{0,04}(t) für 0\leq t\leq 200 (t in Tagen) kann das Wachstum von Sonnenblumen beschrieben werden, wobei f_{0,04}(t) die Höhe (in m) der Pflanzen zur Zeit t bedeutet.

d) da) Berechnen Sie die Höhe einer Sonnenblumenpflanze nach 10, 50 und 150 Tagen.

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   db) Berchnen Sie, wann die Wachstumsgeschwindigkeit einer Sonnenblumenpflanze am größten ist.

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   dc) Erläutern Sie die Grenzen dieser mathematischen Modellbildung.

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