Die Aufgabe

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Gegeben sind die Funktionen fa durch

y = f_{a}(t) = \frac{2\cdot e^{at}}{e^{at}+29}, t\in R, a\in R, a>0

Ihre Graphen werden mit Ga bezeichnet.

a)

  • Untersuchen sie das Verhalten der Funktionen fa für t -> \pm  \infty und geben sie für die Asymptoten Gleichungen an.
  • Zeigen sie, dass alle Funktionen fa monoton steigend sind.

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b)

  • Untersuchen sie die Funktionen fa auf Nullstellen und lokale Extremstellen.
  • Jeder Graph Ga bestitzt genau einen Wendepunkt Wa. Zeigen sie, dass die Wendepunkte Wa auf einer parallelen zur t-Achse liegen.
  • Zeichnen sie die Graphen G0,75 und G1 in ein und dasselbe Koordinatensystem und schlussfolgern Sie, welchen Einfluss der Parameter a auf den Verlauf der Graphen Ga hat.

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c)

  • Der Graph G1, die t-Achse und die Gerade mit der Gleichung t = ln(29)\; begrenzen eine Fläche. Berechnen Sie die Maßzahl des Inhalts dieser Fläche.

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Durch die Funktion f_{0,04}(t)\; für 0\leq t\leq 200 (t in Tagen) kann das Wachstum von Sonnenblumen beschrieben werden, wobei f_{0,04}(t)\; die Höhe (in m) der Pflanzen zur Zeit t bedeutet.

d)

  • Berechnen Sie die Höhe einer Sonnenblumenpflanze nach 10, 50 und 150 Tagen.
  • Berchnen Sie, wann die Wachstumsgeschwindigkeit einer Sonnenblumenpflanze am größten
  • Erläutern Sie die Grenzen dieser mathematischen Modellbildung.

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