Die Aufgabe

Gegeben sind die Funktionen f_a durch

$y = f_{a}(t) = \frac{2\cdot e^{at}}{e^{at}+29},\;\;\;\;\;$ $t\in R, a\in R, a>0$

Ihre Graphen werden mit G_a bezeichnet.

a)

• Untersuchen sie das Verhalten der Funktionen f_a für t -> $\pm \infty$ und geben sie für die Asymptoten Gleichungen an.

• Zeigen sie, dass alle Funktionen f_a monoton steigend sind.

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b)

• Untersuchen sie die Funktionen f_a auf Nullstellen und lokale Extremstellen.

• Jeder Graph G_a bestitzt genau einen Wendepunkt W_a. Zeigen sie, dass die Wendepunkte W_a auf einer parallelen zur t-Achse liegen.

• Zeichnen sie die Graphen G_0,75 und G₁ in ein und dasselbe Koordinatensystem und schlussfolgern Sie, welchen Einfluss der Parameter a auf den Verlauf der Graphen G_a hat.

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c)

• Der Graph G₁, die t-Achse und die Gerade mit der Gleichung $t = ln(29)\;$ begrenzen eine Fläche. Berechnen Sie die Maßzahl des Inhalts dieser Fläche.

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Durch die Funktion $f_{0,04}(t)\;$ für $0\leq t\leq 200$ (t in Tagen) kann das Wachstum von Sonnenblumen beschrieben werden, wobei $f_{0,04}(t)\;$ die Höhe (in m) der Pflanzen zur Zeit t bedeutet.

d)

• Berechnen Sie die Höhe einer Sonnenblumenpflanze nach 10, 50 und 150 Tagen.

• Berchnen Sie, wann die Wachstumsgeschwindigkeit einer Sonnenblumenpflanze am größten

• Erläutern Sie die Grenzen dieser mathematischen Modellbildung.

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