Leonhard Euler/Weiterführende Aufgaben

1. Gebe den Funktionsterm der Funktion f(x) an, wenn...

• ... die e-Funktion um 5 Längeneinheiten nach oben verschoben wird und um 4 Längeneinheiten nach rechts.
• ... die e-Funktion um 2 Längeneinheiten nach rechts verschoben wird und an der x-Achse gespiegelt wird.
• ... die e-Funktion um den Faktor 2 parallel zur x-Achse gestaucht wird.

2. Wie sieht der Graph der e-Funktion aus, wenn gilt: f(x)=-e^-x + 3?

3.Fische vermehren sich in einem Biotop nach folgendem Funktionsterm:
f(x)= n₀ $\cdot$ e^ ^{$\frac {16324} {217389}$ $\cdot$t}
n₀= Anfangswert; t=Zeit in Jahren
Der Fischzüchter begann seine Zucht mit 1000 Fischen.
a) Wie groß ist der Schwarm nach 4,5 Jahren?
b) Wann hat sein Schwarm eine Größe von 5000 Fischen erreicht?


4. Die ideale Körpertemperatur vom Menschen liegt bei 36,5°C.
Horst ist im Krankenhaus mit erhöhter Temperatur. Der Arzt beobachtet Horsts Temperatur 48 Stunden lang und hält diese in einem Diagramm fest.
Seine Erkenntnisse lassen sich mit folgendem Funktionsterm beschreiben: f(t)= 36,5+t$\cdot$e^-0,3t
t=Zeit in h; f(t)=Körpertemperatur in °C;
a) Skizziere den Graphen.
b) Berechne seine Höchsttemperatur innerhalb der ersten zwei Tage.

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• Verschiebung um 5 Längeneinheiten nach oben: e^x wird e^x + 5;

Verschiebung um 4 Längeneinheiten nach rechts: e^x wird e^x-4;
e^x wird zu: e^x-4+5;

• Verschiebung um 2 Längeneinheiten nach rechts: e^x wird e^x-2;

Spiegelung an der x-Achse: _e^x wird -e^x;
^{ex wird zu -ex-2;}

• Stauchung parallel zur x-Achse um den Faktor 2: e^x wird zu e^2x;

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• Da x hier durch -x ersetzt wird, wird der Graph der e-Funktion an der y-Achse gespiegelt. Außerdem wird durch die Addition von 3 der Graph

parallel zur y-Achse um 3 Einheiten nach oben verschoben.

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f(x)= n₀ $\cdot$ e^ ^{$\frac {16324} {217389}$ $\cdot$t}
a)Anfangswert: n₀=1000 Fische; t=4,5 Jahre f(x)=1000 $\cdot$ e^ ^{$\frac {16324} {217389}$ $\cdot$4,5} = 1402 Fische

b) 5000 = 1000 $\cdot$ e^ ^{$\frac {16324} {217389}$ $\cdot$t};

→ Zur Auflösung muss logarithmiert werden.
ln(a$\cdot$b)=lna+lnb; lne^x=x

ln5000 = ln(1000 $\cdot$ e^ ^{$\frac {16324} {217389}$ $\cdot$t})


ln5000 = ln1000 + $\frac {16324} {217389}$ $\cdot$t; | -ln1000


ln($\frac {5000} {1000}$ = $\frac {16324} {217389}$ $\cdot$t; | /$\frac {16324} {217389}$


t = 21,4 Jahre

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a)
b)Höchstemperatur: Hochpunkt; f(t)= 36,5+t$\cdot$e^-0,3t;
Ableitung: f'(t)= -0,3t $\cdot$e^-0,3t+e^-0,3t=
=e^-0,3t$\cdot$(-0,3t+1);
Nullstellen der Ableitung bestimmen: f'(t)=0;
e^-0,3t$\cdot$(-0,3t+1)=0;
e^-0,3t wird nie Null.
-0,3t+1=0;
0,3t=1;
NS:t=3$\frac {1} {3}$ f(3$\frac {1} {3}$)=37,73;

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