Leonhard Euler/Einstiegsaufgaben

Einstiegsaufgaben zur natürlichen Exponentialfunktion

Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion der vorgegebenen Funktion f und berechnen Sie die Steigung des Graphen f an der Stelle x=1.

f(x)=5e^x + x

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-Ableitung: f'(x)=5e^x + 1;
-Steigung: f'(1)=5e+1;

Bei den Aufgaben zur Vereinfachung eines Termes sind oft die Potenzgesetze notwendig: WIEDERHOLUNG: -Bemerkung: a,b E |R+ \ {1} und x,y E |R 1. ax$\cdot$by = ax+y 2. $\frac{a^x} {a^y}$ = ax-y 3. ax $\cdot$ bx = (a$\cdot$b)x 4. $\frac{a^x} {a^x}$ = ($\frac a b$)x 5. (ax)y = ax$\cdot$y

Differenziere folgende Funktionsterme!
1. f₁(x)= e^3x-8
2. f₂(x)= e^cosx $\cdot$ sinx
3. f₃(x)= e^-x
4. f₄(x)= (x²- 4)e^x

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1. f₁(x)= e^3x-8; Kettenregel: f(x)=u(v(x))→f'(x)=u'(v(x))$\cdot$ v'(x)
f'(x)=e^3x-8 $\cdot$ 3 = 3e^3x-8

2. f₂(x)= e^cosx $\cdot$ sinx; Kettenregel (s.o.)und Produktregel: f(x)=u(x)$\cdot$v(x) →f'(x)=u'(x)$\cdot$v(x)+u(x)$\cdot$v'(x)
f'(x)=e^cosx $\cdot$ (-sinx)$\cdot$sinx+e^cosx$\cdot$cosx=
=e^cosx$\cdot$(-(sinx)²+cosx)

3. f₃(x)= e^-x; Kettenregel
f'(x)=e^-x$\cdot$(-1)=-e^-x

4. f₄(x)= (x²- 4)e^x; Produktregel
f'(x)= 2x$\cdot$e^x+(x²-4)$\cdot$e^x$\cdot$1=
=2x$\cdot$e^x+x²$\cdot$e^x-4e^x=
=e^x(2x+x²-4)

Finde die Stammfunktion zu den beiden gegebenen Funktionstermen!
1. f₁(x)= 5e^2x
2. f₂(x)= 3e^2x+1

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Zur Erinnerung: F'(x)=f(x);
1. f₁(x)= 5e^2x;
F(x)=2,5e^2x

2. f₂(x)= 3e^2x+1;
F(x)=1,5e^2x+1

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