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mit Lösungen Veranschaulichung

Abituraufgabe 2012 - Infinitesimalrechnung
Gegeben ist die in R definierte Funktion g(x) = x$\cdot$e^-2x.

Teilaufgabe Teil 1 2a (5 BE)
Bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts, in dem der Graph von g eine waagrechte Tangente hat.
Teilaufgabe Teil 1 2b (2 BE)
Geben Sie das Verhalten von g für  x $\rightarrow$ - $\infty$ und x $\rightarrow$ + $\infty$ an.

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Teilaufgabe 1 2a
1. Ableitung bilden: g(x) = x$\cdot$e^-2x
Produktregel:
g'(x) = 1 $\cdot$ e^-2x + x$\cdot$(-2)$\cdot$e^-2x ;
g'(x) = e^-2x $\cdot$(1+(-2x);
g'(x) = e^-2x $\cdot$ (1-2x);

2. Nullstellen der Ableitung bestimmen (Extremwerte der Funktion g(x))
e^-2x ist immer größer 0. Daher:
1-2x = 0; 2x = 1; x = 0,5;

3. Koordinaten des Punktes der waagrechten Tangente bestimmen.
g(0,5) = 0,5 $\cdot$ e^{-2 $\cdot$ 0,5};
g(0,5)= $\frac 1 {2e}$

P(0,5/ $\frac 1 {2e}$);

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Teilaufgabe 1 2b
Grenzwerte bilden: g(x) = x$\cdot$e^-2x
- Grenzwert x $\rightarrow$ - $\infty$: lim g(x)= - $\infty$;
- Grenzwert x $\rightarrow$ + $\infty$: lim g(x)= 0;

Abituraufgabe 2013 - Infinitesimalrechnung
Gegeben sind die in R definierten Funktionen: g(x)=e^-x und h(x)=x³;

Teilaufgabe Teil 1 3a (2 BE)
Veranschaulichen Sie durch eine Skizze, dass die Graphen g und h genau einen Schnittpunkt haben.
Teilaufgabe Teil 1 3b (4 BE)
Bestimmen Sie einen Nährungswert x₁ für die x-Koordinate dieses Schnittpunkts, indem Sie für die in R definierte Funktion d(x)=g(x)-h(x) den ersten Schritt des Newton-Verfahrens mit dem Startwert x₀=1 durchführen.

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Teilaufgabe 1 3a

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Teilaufgabe 1 3b
Newtonsche Iterationsformel zur näherungsweisen Berechnung von Nullstellen.
x₀ = 1; →Startwert
x_n+1 = x_n -

= 

= 1 -

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