Lösung b)

$y = f_{a}(t) = \frac{2\cdot e^{at}}{e^{at}+29},$ $t\in R, a\in R, a>0$

$f'_{a} (t) = \frac{58\cdot a\cdot e^{at} }{(e^{at}+29) ^{2}}$

Untersuchen sie die Funktionen f_a auf Nullstellen und lokale Extremstellen

Suche nach Nullstellen:

Um die Nullstellen einer Funktion zu finden, muss man einfach die Funktion gleich 0 setzen und sehen, für welche t-Werte die Funktion gleich 0 wird.

$f_{a}(t) = \frac{2\cdot e^{at}}{e^{at}+29} = 0\;$
$2\cdot e^{at} = 0\;$
$e^{at} = 0\;\;\;\;\;\;\;\; (f)$

Daraus folgt, dass es keine Nullstellen gibt, da die e-Funktion nie 0 wird und somit der Ausdruck $e^{at}\;$ ebenfalls nie 0 werden kann.

Suche nach Extremstellen:

Um die Extrempunkte einer Funktion zu finden, muss man die 1. Ableitung gleich 0 setzen und sehen, für welche t-Werte die Funktion gleich 0 wird. Anschließend muss überprüft werden, ob an dieser Stelle wirklich ein Extrempunkt vorliegt. Dies kann mittels der Vorzeichentabelle, der h-Methode (beide in Teilaufgabe b) besprochen) und der 2. Ableitung gemacht werden.

$f'_{a} (t) = \frac{58\cdot a\cdot e^{at} }{(e^{at}+29) ^{2}} = 0\;$
$58\cdot a \cdot e^{at} = 0\;$
$e^{at} = 0\;\;\;\;\;\;\;\; (f)$

Daraus folgt, dass es keine Extremstellen gibt, da die e-Funktion nie 0 wird und somit der Ausdruck $e^{at}\;$ ebenfalls nie 0 werden kann.

Jeder Graph G_a bestitzt genau einen Wendepunkt W_a. Zeigen sie, dass die Wendepunkte W_a auf einer parallelen zur t-Achse liegen

Um einen Wendepunkt zu bestimmen, muss man die 2. Ableitung der Funktion betrachten, da diese das Krümmungsverhalten der Funktion beschreibt. Ein Wendepunkt kann nur an der Stelle vorliegen, an der die 2. Ableitung gleich 0 ist. Anschließend muss noch überprüft werden, ob es an dieser Stelle wirklich einen Wendepunkt geben kann. Zuletzt muss nur noch, nach der erfolgreichen Überprüfung und des Beweises eines Wendepunktes, die t-Koordinate des Wendepunktes in die Funktion eingesetzt werden und der y-Wert bestimmt werden.

Hier noch ein Hinweis für Interessierte, die Probleme mit der Bestimmung von Extremstellen haben.

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Dies ist im übrigen das gleiche Verfahren, wie bei der Suche nach Extremstellen, jedoch wird nicht die 1. Ableitung betrachtet, sondern die 2. Ableitung. Die Nachweisverfahren, die im späteren Verlauf deutlich werden, gelten ebenfalls für den Nachweis von Extrempunkten, mit Ausnahme der Methode der 3. Ableitung. Diese wird erstzt durch die Methode der 2. Ableitung.

Die 2. Ableitung:

$f''_{a}(t) = \frac{58\cdot a \cdot e^{at}\cdot a\cdot(e^{at}+29)^{2} - 2 \cdot(e^{at} + 29)\cdot e^{at}\cdot a \cdot 58 \cdot a \cdot e^{at} }{(e^{at} + 29) ^{4} } =$

$= \frac{58\cdot a^{2} \cdot e^{at}\cdot (e^{at} + 29) - 2\cdot a^{2} \cdot (e^{at})^{2}\cdot 58 }{(e^{at}+29)^{3}} = 58\cdot a^{2}\cdot \frac{(e^{at})^{2} + 29\cdot e^{at} - 2(e^{at})^2}{(e^{at} + 29)^{3}} = 58\cdot a^{2} \cdot \frac {29\cdot e^{at} - e^{2at}}{(e^{at}+29)^{3}}$

Suche nach dem Wendepunkt:

Um den Wendepunkt zu finden, muss man die 2. Ableitung gleich 0 setzen. Die t-Koordinate, die man als mögliches Ergebnis bekommt, ist die Stelle, an der ein Wendepunkt auftreten kann.

$f''_{a}(t) = 58\cdot a^{2} \cdot \frac {29\cdot e^{at} - e^{2at}}{(e^{at}+29)^{3}} = 0$

$58\cdot a^{2} (29\cdot e^{at} - e^{2at}) = 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;| : 58\cdot a^{2}$

$(29\cdot e^{at} - e^{2at}) = 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;| + e^{2at}\;$

$29 e^{at} = e^{2at}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;| ln\;$

$ln(29 e^{at}) = ln(e^{2at})\;$

$ln(29) + ln(e^{at}) = ln(e^{2at})\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;| - ln(e^{at})\;$

$ln(e^{2at}) - ln(e^{at}) = ln(29)\;$

$2at \cdot ln(e) - at\cdot ln(e) = ln(29)$

$2at - at = ln(29)\;$

$at = ln(29)\;$

$t = \frac {ln29} {a}$

Daraus folgt, dass es an der Stelle $t = \frac {ln29} {a}$ einen Wendepunkt geben kann. Dies muss allerdings noch weiter überprüft und bewiesen werden.

Beweis für Wendepunkt:

1. Möglichkeit: Vorzeichentabelle

Die Möglichkeit des Nachweises durch die Vorzeichentabelle, ist eine vereinfachte Form der h-Methode. Sie ist deutlich zeitsparender, weshalb sie von mir in Prüfungen empfohlen wird, da somit sehr schnell und fehlerfrei nachgewiesen werden kann, ob es einen Vorzeichenwechsel an der möglichen Stelle gibt.

Man zerlegt die 2. Ableitung in seine einzelnen Faktoren und betrachtet das Verhalten vor dem möglichen Wendepunkt und nach dem möglichen Wendepunkt. Man notiert sich nun, ob es einen Vorzeichenwechsel bei einem der Faktoren gibt und schlussfolgert aus den einzelnen Vorzeichenwechsel den Vorzeichenwechsel der 2. Ableitung.

Aus der Vorzeichentabelle lässt sich nun ganz leicht erkennen, dass es an der Stelle $\frac {ln29}{a}$ einen Vorzeichenwechsel der 2. Ableitung von $+$ zu $-$ gibt. Somit ist es ein Beweis für einen Wendepunkt.

Es gibt noch 2 weitere Beweisverfahren, welche mathematisch gesehen etwas korrekter sind, allerdings für eine Prüfung wie das Abitur nicht zu empfehlen sind. Falls jemand diese Beweisverfahren sehen möchte, bitte hier klicken.

Begründung, warum alle Wendepunkte auf einer Parallelen zur t-Achse liegen:

Da wir nun zweifelsfrei nachgewiesen haben, dass es einen Wendepunkt an der Stelle $\frac {ln29}{a}$ gibt, muss nun gezeigt werden, dass alle diese Wendepunkte auf einer Parallelen zur t-Achse liegen.

Bedingung: Alle y-Werte müssen gleich sein

$f_{a} (\frac {ln29}{a}) = \frac {2\cdot e^{a\frac {ln29}{a}}} {e^{a\frac {ln29}{a}} + 29} = \frac {2\cdot e^{ln29}} {e^{ln29} + 29} = \frac {2\cdot 29} {29 + 29} = \frac {58}{58} = 1$

An dem y-Wert sieht man, dass jeder Wendepunkt den y-Wert 1 hat und dieser völlig unabhängig von a ist. Somit ist zweifelsfrei nachgewiesen worden, dass alle Wendepunkte auf einer Parallelen zur t-Achse liegen

Zeichnen sie die Graphen G_0,75 und G₁ in ein und dasselbe Koordinatensystem und schlussfolgern Sie, welchen Einfluss der Parameter a auf den Verlauf der Graphen G_a hat

Man soll nun die beiden Graphen G₁ und G_0,75 miteinander vergleichen. Im nebenstehenden Bild kann man die Graphen, sowie die beiden Wendepunkte und die Ortskurve der Wendepunkte erkennen. Der rote Graph beschreibt die Funktion $f_{0,75} (t)\;$ und der blaue die Funktion $f_{1} (t)\;$.

Anhand der Graphen lässt sich nun sehr leicht der Einfluss der Variablen a auf den Graphen der Funktion festmachen. Wie man erkennen kann, ist die Variable a für die maximale Steigung des Graphen verantwortlich. Je größer a wird, desto größer ist die Steigung im Wendepunkt WP_a. Außerdem verlagert sich die t-Koordinate, des Wendepunkts immer weiter nach "links", was bedeutet, dass sie immer kleiner wird.

Für diejenigen, die den allgemeinen Verlauf in Abhängigkeit von a nochmals sehen wollen

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