Die Aufgabe

Gegeben sind die Funktionen f_a durch

     $y = f_{a}(t) = \frac{2e^{at}}{e^{at}+29}$, $t\in R, a\in R, a>0$

Ihre Graphen werden mit G_a bezeichnet.

a) aa) Untersuchen sie das Verhalten der Funktionen fa für t -> $\pm  \infty$ und geben sie für 
       die Asymptoten Gleichungen an.

   ab) Zeigen sie, dass alle Funktionen fa monoton steigend sind.

b) ba) Untersuchen sie die Funktionen fa auf Nullstellen und lokale Extremstellen.

   bb) Jeder Graph Ga bestitzt genau einen Wendepunkt Wa
       Zeigen sie, dass die Wendepunkte Wa auf einer parallelen zur t-Achse liegen.

   bc) Zeichnen sie die Graphen G0,75 und G1 in ein und dasselbe Koordinatensystem und 
       schlussfolgern Sie, welchen Einfluss der Parameter a auf den Verlauf der Graphen Ga hat.

c)     Der Graph G1, die t-Achse und die Gerade mit der Gleichung t = ln(29) begrenzen eine Fläche.
       Berechnen Sie die Maßzahl des Inhalts dieser Fläche.

Durch die Funktion $f_{0,04}(t)$ für $0\leq t\leq 200$ (t in Tagen) kann das Wachstum von Sonnenblumen beschrieben werden, wobei $f_{0,04}(t)$ die Höhe (in m) der Pflanzen zur Zeit t bedeutet.

d) da) Berechnen Sie die Höhe einer Sonnenblumenpflanze nach 10, 50 und 150 Tagen.

   db) Berchnen Sie, wann die Wachstumsgeschwindigkeit einer Sonnenblumenpflanze am größten ist.

   dc) Erläutern Sie die Grenzen dieser mathematischen Modellbildung.