Lösung a) ab): Unterschied zwischen den Versionen

Aus RMG-Wiki
Wechseln zu: Navigation, Suche
Zeile 10: Zeile 10:
  
 
<math>f'_{a}(t)  = 0  \Rightarrow 58\cdot a\cdot e^{at} = 0 \Rightarrow e^{at} = 0</math> (f)
 
<math>f'_{a}(t)  = 0  \Rightarrow 58\cdot a\cdot e^{at} = 0 \Rightarrow e^{at} = 0</math> (f)
 +
  
 
Da die e-Fkt. nie 0 werden kann, sondern dieser sich immer nur annähert, gibt es keine mögliche Stelle für einen Extrempunkt. Somit lässt sich folgern, dass die Funktion entweder streng monoton steigend oder fallend ist.
 
Da die e-Fkt. nie 0 werden kann, sondern dieser sich immer nur annähert, gibt es keine mögliche Stelle für einen Extrempunkt. Somit lässt sich folgern, dass die Funktion entweder streng monoton steigend oder fallend ist.
Zeile 21: Zeile 22:
  
 
Anhand dieser Grenzwerte und dem fehlenden Extrempunkt geht deutlich hervor, dass die Funktion einen streng monoton steigenden Verlauf nimmt, der sich 0 und 2 annähert
 
Anhand dieser Grenzwerte und dem fehlenden Extrempunkt geht deutlich hervor, dass die Funktion einen streng monoton steigenden Verlauf nimmt, der sich 0 und 2 annähert
 +
 +
 +
 +
[[Facharbeit Mathematik Straßheimer/Die Aufgabe|Hier gehts wieder zur Aufgabe]

Version vom 3. Januar 2010, 19:15 Uhr

y = f_{a}(t) = \frac{2\cdot e^{at}}{e^{at}+29}, t\in R, a\in R, a>0

Zeigen Sie, dass alle Funktionen fa monoton steigend sind

f'_{a} (t) = \frac{2\cdot a\cdot e^{at}\cdot (e^{at} + 29) - 2\cdot e^{at}\cdot a\cdot e^{at} }{(e^{at}+29) ^{2} } = 2\cdot a\cdot \frac{(e^{at}) ^{2} + 29\cdot e^{at} - (e^{at}) ^{2} }{(e^{at}+29) ^{2}} = \frac{58\cdot a\cdot e^{at} }{(e^{at}+29) ^{2}}


Suche nach möglichem Extrempunkt; falls kein Extrempunkt vorhanden ist, zeigt dies, dass die Funktion monoton steigend oder fallend sein muss.

f'_{a}(t) = 0 \Rightarrow 58\cdot a\cdot e^{at} = 0 \Rightarrow e^{at} = 0 (f)


Da die e-Fkt. nie 0 werden kann, sondern dieser sich immer nur annähert, gibt es keine mögliche Stelle für einen Extrempunkt. Somit lässt sich folgern, dass die Funktion entweder streng monoton steigend oder fallend ist.

Beweis dafür, dass die Funktion streng monoton steigend ist:

Da man nun weiß, dass es keinen Extrempunkt gibt, an der sich das Monotonieverhalten ändern kann, lässt sich sehr leicht aus den Grenzwerten gegen \pm \infty , die man berechnet hat.

Der Grenzwert t -> - \infty geht gegen 0
Der Grenzwert t -> \infty geht gegen 2 Herleitung findet ihr hier nochmal

Anhand dieser Grenzwerte und dem fehlenden Extrempunkt geht deutlich hervor, dass die Funktion einen streng monoton steigenden Verlauf nimmt, der sich 0 und 2 annähert


[[Facharbeit Mathematik Straßheimer/Die Aufgabe|Hier gehts wieder zur Aufgabe]

Von „http://rmg.zum.de/index.php?title=Facharbeit_Mathematik_Straßheimer/Die_Aufgabe/Lösung_a)_ab)&oldid=25544“