Lösung c): Unterschied zwischen den Versionen

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(→‎Der Graph G1, die t-Achse und die Gerade mit der Gleichung t = ln(29)\; begrenzen eine Fläche. Berechnen Sie die Maßzahl des Inhalts dieser Fläche)
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::<math>f_{1} (t) = \frac {2\cdot e^{t}} {e^{t} + 29}</math>
 
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==Der Graph G<sub>1</sub>, die t-Achse und die Gerade mit der Gleichung <math>t = ln(29)\;</math> begrenzen eine Fläche. Berechnen Sie die Maßzahl des Inhalts dieser Fläche==
 
==Der Graph G<sub>1</sub>, die t-Achse und die Gerade mit der Gleichung <math>t = ln(29)\;</math> begrenzen eine Fläche. Berechnen Sie die Maßzahl des Inhalts dieser Fläche==
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:<math>=  2\cdot [ln58 - \lim_{a \to -\infty } ln(e^{a} + 29)] =</math>
 
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:<math>=  2\cdot [ln58 - ln29] = 2\cdot ln(\frac {58} {29})= 2\cdot ln2</math>
 
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Der Schritt der Integralbildung, also von <math>\lim_{a \to -\infty } 2\cdot  \int_a^{ln29} \! \frac {e^{t}} {e^{t} + 29} \, dt </math> zu <math>\lim_{a \to -\infty } 2\cdot  \left[ln(e^{t} + 29)\right]_{a}^{ln29} </math> ist eines der Grundintegrale, welches besagt, dass das Integral der 1. Ableitung einer Funktion f geteilt durch die Funktion f der <math>ln\;</math> der der Funktion ist. Dies steht in der Formelsammlung auf Seite 67 (vgl. J. Lindauer Verlag: Mathematische Formeln und Definitionen, München 2008)
  
  
 
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Aktuelle Version vom 28. Januar 2010, 22:30 Uhr

f_{1} (t) = \frac {2\cdot e^{t}} {e^{t} + 29}

Der Graph G1, die t-Achse und die Gerade mit der Gleichung t = ln(29)\; begrenzen eine Fläche. Berechnen Sie die Maßzahl des Inhalts dieser Fläche

Um den Flächeninhalt in dem Teilstück, welches der Graph G1 mit der t-Achse und der Geraden mit der Gleichung t = ln29 \; einschließt, muss man das Integral mit der oberen Grenze t = ln29 \; und der unteren Grenze - \infty bilden.

Zu beachten ist hierbei, dass ein Grenzwert benötigt wird, der gegen - \infty läuft, da man - \infty nicht für t einsetzen darf.

Graph-facharbeit10.png

A = \lim_{a \to -\infty } \int_a^{ln29} \! f_{1}(t) \, dt =

= \lim_{a \to -\infty } \int_a^{ln29} \! \frac {2\cdot e^{t}} {e^{t} + 29} \, dt =
= \lim_{a \to -\infty } \int_a^{ln29} \! 2\cdot \frac {e^{t}} {e^{t} + 29} \, dt =
= \lim_{a \to -\infty } 2\cdot \int_a^{ln29} \! \frac {e^{t}} {e^{t} + 29} \, dt =
= \lim_{a \to -\infty } 2\cdot \left[ln(e^{t} + 29)\right]_{a}^{ln29} =
= 2\cdot [ln(29 + 29) - \lim_{a \to -\infty } ln(e^{a} + 29)] =
= 2\cdot [ln58 - \lim_{a \to -\infty } ln(e^{a} + 29)] =
= 2\cdot [ln58 - ln29] = 2\cdot ln(\frac {58} {29})= 2\cdot ln2


Der Schritt der Integralbildung, also von \lim_{a \to -\infty } 2\cdot \int_a^{ln29} \! \frac {e^{t}} {e^{t} + 29} \, dt zu \lim_{a \to -\infty } 2\cdot \left[ln(e^{t} + 29)\right]_{a}^{ln29} ist eines der Grundintegrale, welches besagt, dass das Integral der 1. Ableitung einer Funktion f geteilt durch die Funktion f der ln\; der der Funktion ist. Dies steht in der Formelsammlung auf Seite 67 (vgl. J. Lindauer Verlag: Mathematische Formeln und Definitionen, München 2008)



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