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| − | ==Was ist eine Funktion ?==
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| − | So wie im täglichen Leben Statistiken oder Tabellen erstellt werden, können auch in der Mathematik sogenannte Funktionen erstellt werden. Diese sind, ähnlich wie bei einer Tabelle, abhängig von zwei meist unterschiedlichen Größen. Bei den mathematischen Funktionen ist es so, dass einer bestimmten Menge auf der x – Achse, eine bestimmte Menge auf der y - Achse zugeordnet wird. Bei rein mathematischen Überlegungen handelt es sich bei den beiden Mengen um den sogenannten x – Wert beziehungsweise y – Wert. Bei Funktionen mit Einheiten, wie zum Beispiel in der Physik der „Waagrechte Wurf“, wird dem x – Wert die Einheit Länge in Meter gegeben und dem y – Wert Höhe in Meter zugeteilt. Jedoch ist zu beachten, dass bei Funktionen jedem x - Wert nur ein y – Wert zugeordnet werden kann. Es ist also nicht möglich, dass eine Funktion mit dem x – Wert x1 zwei y – Werte y1 und y2 hat. Der Unterschied zwischen einer Funktion und einer Wertetabelle ist lediglich, dass die Funktion eine graphische Abbildung der Wertetabelle darstellt.
| + | ''Bearbeitet wird eine Abituraufgabe von 2007 aus Nordrhein - Westfalen. Zu der Aufgabe sind auf der nächsten Seite einige Aufgaben gestellt, welche es zu bearbeiten gilt. Die interaktive Bearbeitung der Aufgabe ist so aufgebaut, dass zu Beginn nochmals erläutert wird was genau errechnet werden soll und wie die jeweilige Aufgabe zu berechnen ist. |
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| − | ==Angabe==
| + | Des Weiteren findest du neben den Aufgaben viele Veranschaulichungen durch Graphen in GeogebraApplets, von denen du manche auch durch einen Schieberegler verändern kannst. Dies ist vor allem für diejenigen nützlich, die sich die Lösungswege schwerer erschließen können und dadurch eine kleine Hilfestellung bekommen. |
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| − | Mit Hilfe der folgenden Funktion kann man beispielsweise die Wasserstände eines Flusses vorherzusagen. Diese Beschreibung der Durchflussgeschwindigkeit sei durch die Funktionenschar f<sub>a</sub> mit <math>f(t) = \frac{1}{4} t^3 - a t^2 + a^2 t</math>, a > 0
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| − | Die Funktion gibt dabei die Durchflussgeschwindigkeit in 10<sup>6</sup><math>\frac{m^3}{Monat}</math> und t die verstrichene Zeit in Monaten seit Beginn der Vorhersage
| + | :Nun wünsche ich dir noch viel Spaß beim Bearbeiten der interaktiven Aufgabe. |
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| − | (t = 0) an. Die Funktion berücksichtigt, dass es sich um einen Fluss handelt, der zeitweise austrocknet.
| + | :Und hier gehts auch schon zur [[Facharbeitsaufgabe|Wasserstandsaufgabe]]! |
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| − | ===Aufgabe: Nullstellen===
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| − | '''''<span style="color: darkorange">Es soll bestimmt werden, abhängig vom Parameter a, zu welchen Monaten kein Wasser durch den Fluss fließt.</span>'''''
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| − | ::''<span style="color: darkblue">Was fällt auf, wenn man mit Hilfe des Schiebereglers den Parameter a verändert?</span>'' <small> Im Applet ist die Funktion als f (x) definiert, nicht als f (t). </small>
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| − | <ggb_applet width="800" height="600" filename="Aufgabe_Nullstellen.ggb" showResetIcon="true" />
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| − | ::{{Lösung versteckt|1=
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| − | :Jede Funktion <math>f(x)</math> , unabhängig vom Parameter a, schneidet den Ursprung. Das ist die erste Nullstelle, welche der Graph besitzt. Sie ist also '''unabhänig von a''' Dies kann man leicht aus der Funktion ablesen, da man eben diese Nullstelle durch einfaches Ausklammern erhält.
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| − | :<math>f(t) = t (\frac{1}{4} t^2 - a t + a^2) \rightarrow t_1 = 0 \Rightarrow N_1\left( 0 / 0 \right) </math>
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| − | :Die andere, wie man im Applet sieht eine doppelte Nullstelle, wird mit wachsendem Parameter a immer weiter vom Ursprung entfernt. Sie ist also '''abhängig von a'''. Löst man die Quadratische Gleichung erhält man die zweite Nullstelle.
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| − | :<math>\frac{1}{4} t^2 - a t + a^2 \rightarrow t_2 = 2a \Rightarrow N_2\left( 2a / 0 \right) </math>
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| − | :<u>Der Fluss trocknet zu den Zeitpunkten t = 0 und t = 2a aus.</u>
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| − | ===Aufgabe: Extremwerte===
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| − | '''''<span style="color: darkorange">Es soll, in Abhängigkeit von a, ermittelt werden, zu welchen Zeitpunkten t ein relatives Maximum bzw. Minimum vorliegt. Diese Funktionswerte sollen berechnet werden.</span>
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| − | Um die Extremwerte einer Funktion zu errechnen, wird die erste Ableitung benötigt.
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| − | Die allgemeine Ableitungsregel ist: '''<math>f (x) = x^n \Rightarrow f'(x) = n * x</math><sup>n-1</sup>'''
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| | + | <big>'''Aufgabenstellung:'''<ref>[http://www.standardsicherung.nrw.de/abitur-gost/getfile.php?file=910 Angabe als pdf Datei]</ref> |
| | + | </big> |
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| − | ::''<span style="color: darkblue">Bestimme nun die erste Ableitung der Funktion <math>f(t) = \frac{1}{4} t^3 - a t^2 + a^2 t</math></span>
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| − | ::{{Lösung versteckt|1=
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| − | :<math>f'(t) = \frac{3}{4} t^2 - 2 a t + a^2</math>
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| − | ::''<span style="color: darkblue">Errechne nun die Koordinaten der Extremwerte.</span>
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| − | ::{{Lösung versteckt|1=
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| − | Um die t - Werte der Extremwerte zu erhalten, setzt man die Funktion f '(t) = 0
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| − | Da man nun die Gleichung einer quadratischen Gleichung hat, kann man mit Hilfe der "Mitternachtsformel" die beiden Lösungen ausrechnen. Setzt man die errechneten t - Werte in die Funktion ein, erhält man die Koordinaten der Extremwerte E<sub>1</sub> und E<sub>2</sub>.
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| − | <math>\rightarrow t_1 = 2 a \Rightarrow E_1\left( 2a / 0 \right)</math>
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| − | <math>\rightarrow t_2 = \frac{2}{3}a \Rightarrow E_2 \left( \frac{2}{3}a / \frac{8}{27}a^3 \right)</math>
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| − | Am Besten sind die Extremwerte für a = 3 zu sehen.
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| − | Da sich hier die Koordinaten <math>E_1</math> ( 6 / 0 ) und <math>E_2</math> ( 2 / 8 ) ergeben.
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| − | [[Bild:Extremwerte für a=3.jpg]]
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| − | '''Man hat nun die Extremwerte in Abhängigkeit von a ermittelt. Um nun zu prüfen ob es sich bei den Extrema um Maxima oder Minima handelt, kann man hier anhand verschiedener Lösungen vorgehen.'''
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| − | :''<span style="color: darkblue">Lösung 1: Man bildet die zweite Ableitung und betrachtet das Krümmungsverhalten an den Extremwerten. Dazu setzt man einfach die t - Koordinate in die zweite Ableitung ein. Gib die Art der Extremwerte an.</span>
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| − | ::{{Lösung versteckt|1=
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| − | ::Die zweite Ableitung lautet: <math>f ''(t) = \frac{3}{2} t - 2a</math>
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| − | ::<math>f ''(2a) = \frac{3}{2} * 2a - 2a = a</math>
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| − | ::da a > 0 <math>\rightarrow</math> Rechtskrümmung <math> \Rightarrow E_1\left( 2a / 0 \right)</math> '''ist Minimum
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| − | ::<math>f ''(\frac{2}{3}a ) = \frac{3}{2} * \frac{2}{3}a - 2a = - a</math>
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| − | ::<small>da a > 0 sein muss</small> <math>\rightarrow</math> - a < 0 <math>\rightarrow</math> Linkskrümmung <math> \Rightarrow E_2\left( \frac{2}{3}a / \frac{8}{27}a^3 \right)</math> '''ist Maximum
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| − | :''<span style="color: darkblue">Lösung 2: Mit Hilfe der h - Methode untersucht man, wie sich der Graph "ein Stückchen links und ein Stückchen rechts" von den beiden Extremwerten verhält. Dazu nimmt man die erste Ableitung, setzt einmal f '(<math>t_1 - h</math>) und einmal f '(<math>t_1 + h</math>) ein, um das Verhalten von G<sub>f</sub> für t < 2a bzw t > 2a zu bestimmen. Hier ergeben sich je ein positiver und ein negativer Wert, welches die Steigung darstellt. Ist beispielsweise f '(<math>t_1 - h</math>) < 0 und f '(<math>t_1 + h</math>) > 0, dann liegt ein Minimum vor, da links vom Extremwert der Graph fällt, und rechts steigt. Mit dem selben Verfahren setzt man nun f '(<math>t_2 - h</math>) und f '(<math>t_2 + h</math>) ein und erhält somit, ob es sich um ein Maximum oder um ein Minimum handelt. Versuche auch, mit Hilfe der h - Methode, die Art der Extrempunkte zu bestimmen.</span>
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| − | ::{{Lösung versteckt|1=
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| − | ::<math>\lim_{h\to0} f '(2a + h)> 0</math> und <math>\lim_{h\to0} f '(2a - h)< 0 </math>
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| − | ::<math>\lim_{h\to0} f '(\frac{2}{3}a + h)< 0</math> und <math>\lim_{h\to0} f '(\frac{2}{3}a - h)> 0</math>
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| − | Daraus ergibt sich nun folgendes Monotonieverhalten.
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| − | <ggb_applet width="700" height="600" filename="Monotonie.ggb" showResetIcon="true" />
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| − | <math> \Rightarrow E_1\left( 2a / 0 \right)</math> '''ist Minimum
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| − | <math> \Rightarrow E_2\left( \frac{2}{3}a / \frac{8}{27}a^3 \right)</math> '''ist Maximum
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| − | :''Lösung 3: Anhand des Graphen G<sub>f</sub> kann man die Art der Extremwerte nachweisen.
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| − | ===Aufgabe: Wendepunkt===
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| − | '''''<span style="color: darkorange">Es soll, in Abhängigkeit von a bestimmt werden, wann die Druchflussgeschwindigkeit besonders stark absinkt. Dieser Wert soll zum Zeitpunkt t berechnet werden.</span>
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| − | Dazu schaut man sich die erste Ableitung näher an. Diese zeigt einem die Steigung des Graphen G<sub>f</sub>. <small> Im Applet ist die Funktion als f '(x) definiert, nicht als f '(t). </small>
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| − | <ggb_applet width="800" height="600" filename="Wendepunkt.ggb" showResetIcon="true" />
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| − | <br /><br />
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| − | ''<span style="color: darkblue">Da es sich bei der ersten Ableitung um eine nach oben geöffnete Parabel handelt, ist das Minimum des Graphen gleichzeitig der Punkt, an dem die Steigung besonders stark abfällt. Wenn man von der Funktion f (t) ausgeht, ist der gesuchte Punkt der Wendepunkt. An ihm besitzt der Graph G<sub>f</sub> den größten negativen Wert. Errechne diesen Wert.</span>
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| − | ::{{Lösung versteckt|1=
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| − | ::<math>\Rightarrow f ''(t)= 0 \rightarrow \frac{3}{2} t - 2a = 0 \Rightarrow t = \frac{4}{3}a</math>
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| − | ::<math>f ( \frac{4}{3}a ) = \frac{4}{27}a^3 \Rightarrow WP \left( \frac{4}{3}a / \frac{4}{27}a^3 \right)</math>
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| − | ::<u>Der Punkt, an welchem die Funktion besonders stark abfällt ist zugleich der Wendepunkt</u> <math>WP \left( \frac{4}{3}a / \frac{4}{27}a^3 \right)</math>
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| − | ===Aufgabe: Theoretische Überlegungen zur Funktion===
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| − | '''''<span style="color: darkorange">Warum liegt kein Punkt der Funktionsgraphen von f<sub>a</sub> im Bereich <math>t \ge 0</math> unterhalb der t - Achse und inwiefern ist dies mit dem zugrunde liegenden Sachverhalt vereinbar.</span>'''''
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| − | ''<span style="color: darkblue">Begründe dies.</span>''
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| − | ::{{Lösung versteckt|1=
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| − | ::Es liegt kein Punkt im Intervall <math>t \ge 0</math> unterhalb der t - Achse, da es hier um '''eine Funktion mit realem Bezug''' geht. Läge ein Punkt bei der gegebenen Aufgabenstellung im vierten Quadranten, würde dies bedeuten, dass '''eine negative Durchflussgeschwindigkeit vorliegen würde'''. Dies ist nicht möglich, da es heißen würde, dass ein negatives Volumen an Wasser im Fluss ist. Deshalb ist kein Punkt der Funktionsgraphen f<sub>a</sub> im vierten Quadranten definiert.
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| − | ''<span style="color: darkblue">Es soll das Verhalten von f<sub>a</sub> für <math>t \rightarrow \infty</math> angegeben werden. Des Weiteren soll begründet werden, ob die Funktionen auch nach den ersten 8 Monate noch eine sinnvolle Beschreibung der Durchflussgeschwindigkeit liefern.</span>''
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| − | ::{{Lösung versteckt|1=
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| − | ::<math>\lim_{t\to\infty} f (t) = \lim_{t\to\infty} \frac{1}{4} t^3 - a t^2 + a^2</math>
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| − | ::(Höchste Potenz ausklammern!)
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| − | ::<math>\lim_{t\to\infty} t^3 \left( \frac{1}{4} - \frac{a}{t} + \frac{a^2}{t^2} \right)</math>
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| − | ::<math>\lim_{t\to\infty} \infty * \frac{1}{4} = \infty</math>
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| − | ::<u>Für</u><math> t\to\infty</math><u>geht die Funktion gegen</u> + <math> \infty</math>
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| − | ::{{Lösung versteckt|1=
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| − | ::Nach den ersten 8 Monaten verhält sich die Funktion so, dass sie '''immer stärker ansteigt'''. Dies ist an der Parabel, welche die Steigung anzeigt, erkennbar. Da die Funktion f<sub>a</sub> (t) vorhersagen soll, wieviel Wasser sich zu einem Zeitpunkt t im Wasser befindet. Wenn man nun, anhand der Funktion vorhersagen soll, wieviel Wasser in zwei Jahren ( also 24 Monaten ) '''ergibt sich ein Wasserstandswert, der mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit nicht erreicht werden wird'''.
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| − | ::Nehmen wir nun mal das Beispiel t = 24 und a = 3.
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| − | ::<math>\frac{1}{4}*24^3 - 24^2*3 + 24*3^2= 1944</math>
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| − | ::Da das Ergebnis in Millionenkubikmeter pro Monat angegeben ist, wäre dann der Wert <math>1,944*10^9 \frac{m^3}{Monat}</math>. Dieser Wasserstandswert wäre eine ziemlich grobe Abweichung vom Realwert. '''Aus diesem Grund handelt es sich bei der Funktion eher um eine Sinusähnliche Funktion''', als um eine, die gen Unendlich exponential ansteigt. Dies würde heißen, '''dass das zweite Austrocknen auf der t - Achse verschoben wird, wieder als t = 0 definiert werden würde, und die Funktion f<sub>a</sub> (t) wieder von vorne starten würde'''.
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| − | ===Aufgabe: Flächenberechnung einer Funktion===
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| − | '''''<span style="color: darkorange">Ermittle für a = 3, wie viel Liter Wasser in den ersten sechs Monaten durch den Fluss fließen.</span>
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| − | <span style="color: darkblue">Dazu wird die Funktion gesucht, deren Ableitung die Funktion f<sub>a</sub> (t) ist. Gebe diese Funktion an und errechne mit ihr für a = 3, wieviel Liter durch den Fluss geflossen sind.</span>
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| − | ::{{Lösung versteckt|1=
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| − | <math>\int_{x}^{y} f (t)\,dt = \frac{1}{16}t^4 - \frac{a*t^3}{3} + \frac{a^2*t^2}{2} + c</math>
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| − | Die obere Grenze ist: 6 <small> ''Nach den ersten sechs Monaten''</smalL>
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| − | Die untere Grenze ist: 0
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| − | <math>\int_{0}^{6} f (t)\,dt = </math> <math>\left[ \frac{1}{16}t^4 - \frac{3*t^3}{3} + \frac{3^2*t^2}{2}\right ]_{0}^{6} = 27 - 0 = 27</math>
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| − | <u>Für a = 3 fließen in den ersten sechs Monaten 27*10<sup>9</sup> Liter Wasser durch den Fluss.</u> (<small> 27*10<sup>6</sup> m<sup>3</sup> = 27*10<sup>9</sup> Liter</small>)
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| − | }}
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| − | ===Aufgabe: Flächengleichheit zweier Funktionen===
| + | [[Bild:Eilif_Peterssen-_Sevilosen.jpg|250px|right]] |
| − | '''''<span style="color: darkorange">Betrachte nun zwei unterschiedliche Funktionen f<sub>a1</sub> und f<sub>a2</sub>. Es soll der Zeitpunkt bestimmt werden, zu dem für beide Funktionsannahmen (seit t = 0) genau gleich viel Wasser durch den Fluss geflossen wäre.'''''</span>
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| − | <span style="color: darkblue">Dazu werden zwei Integralfunktionen F<sub>a1</sub> und F<sub>a2</sub> gleichgesetzt und so weit wie möglich nach t aufgelöst.</span> | + | Um die Wasserstände eines Flusses vorherzusagen, kann man versuchen, die Durchflussgeschwindigkeit |
| | + | des Wassers an einer bestimmten Stelle des Flusses mit Hilfe geeigneter |
| | + | Funktionen zu beschreiben. |
| | + | Solche näherungsweise Beschreibungen der Durchflussgeschwindigkeiten seien z. B. gegeben |
| | + | durch die Funktionenschar <math>f_a (t) = \frac{1}{4}t^3 - a t^2 + a^2 t</math>, mit a > 0 . |
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| − | ::{{Lösung versteckt|1=
| + | Dabei gibt <math>f_a (t)</math> die Durchflussgeschwindigkeit in <math>10^6 \frac{m^3}{Monat}</math> (Millionen Kubikmeter pro |
| − | ::Im Weiteren wird eine Funktion mit Parameter x, die andere mit Parameter y bezeichnet. Wobei gilt:
| + | Monat) und t die verstrichene Zeit in Monaten seit Beginn der Vorhersage <math>t = 0</math> an. |
| | + | Die Funktionen <math>f_a</math> berücksichtigen, dass es sich um einen Fluss handelt, der zeitweise |
| | + | austrocknet. |
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| − | ::<math>x \neq y</math>
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| − | ::F<sub>x</sub> (t) = F<sub>y</sub> (t)
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| − | ::<math>\frac{1}{16}t^4 - \frac{x*t^3}{3} + \frac{x^2*t^2}{2} = \frac{1}{16}t^4 - \frac{y*t^3}{3} + \frac{y^2*t^2}{2}</math> | + | :#[[LK Mathematik Abitur NRW 2007/Nullstellen|Berechnung der Zeitpunkte, in denen der Fluss austrocknet]] |
| | + | :#[[LK Mathematik Abitur NRW 2007/Extremwerte|Bestimmung der maximalen und minimalen Volumina]] |
| | + | :#[[LK Mathematik Abitur NRW 2007/Wendepunkt|Bestimmung der größten Senkung der Durchflussgeschwindigkeit]] |
| | + | :#[[LK Mathematik Abitur NRW 2007/Theoretische Überlegungen|Theoretische Fragen zur Wasserstandsaufgabe]] |
| | + | :#[[LK Mathematik Abitur NRW 2007/Integralberechnung|Berechnung des Wasservolumens in den ersten sechs Monaten]] |
| | + | :#[[LK Mathematik Abitur NRW 2007/Flächengleichheit|Volumengleicheit zweier verschiedener Funktionen bis zum Zeitpunkt t<sub>0</sub>]] |
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| − | ::<math>\frac{t^3}{3} \left( y - x \right) + \frac{t^2}{2} \left( x + y\right) \left( x - y \right) = 0</math>
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| − | ::<math>\left( y - x \right) * \left( \frac{t^3}{3} - \frac{t^2}{2} \left( x + y \right) \right) = 0</math>
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| − | ::<math>\left( y - x \right) \neq 0 \Rightarrow \frac{t^3}{3} - \frac{t^2}{2} \left( x + y \right) = 0</math>
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| − | ::<math>2 t^3 = 3 t^2 \left( x + y \right) // * \frac{1}{t^2}</math>
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| − | ::<math>\Rightarrow t = \frac{3x+3y}{2} </math>
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| − | <span style:"color: darkblue">GeogebraApplet</span> | + | <big>'''Internetquellen'''</big> |
| − | }}
| + | :<references/> |
Um die Wasserstände eines Flusses vorherzusagen, kann man versuchen, die Durchflussgeschwindigkeit
des Wassers an einer bestimmten Stelle des Flusses mit Hilfe geeigneter
Funktionen zu beschreiben.
Solche näherungsweise Beschreibungen der Durchflussgeschwindigkeiten seien z. B. gegeben
durch die Funktionenschar 
, mit a > 0 .
die Durchflussgeschwindigkeit in 
(Millionen Kubikmeter pro
Monat) und t die verstrichene Zeit in Monaten seit Beginn der Vorhersage 
an.
Die Funktionen 
berücksichtigen, dass es sich um einen Fluss handelt, der zeitweise
austrocknet.
