Flächengleichheit

Aufgabe: Flächengleichheit zweier Funktionen

Betrachte nun zwei unterschiedliche Funktionen f_a1 und f_a2. Es soll der Zeitpunkt bestimmt werden, zu dem für beide Funktionsannahmen (seit t = 0) genau gleich viel Wasser durch den Fluss geflossen wäre.

Entwicklung einer Idee: Die Aufgabe kann man sich so vorzustellen, dass für zwei verschiedene a, bis zu einer bestimmten Grenze, hier die gesuchte obere Grenze die Flächen unter dem Graphen der jeweiligen Funktion, gleich groß sind. Schön ist im Applet zu sehen, dass die blaue Fläche immer genauso groß ist wie die rote Fläche, obwohl die Flächen nicht deckungsgleich sind. Durch Veränderung der Schieberegler fällt auf, dass der Zeitpunkt t0 sowohl von a, als auch von b abhängig sein muss. Nun kann man durch Gleichsetzen zweier unterschiedlicher Funktionen Fa und Fb die obere Grenze errechnen.

c: Flächeninhalt blau, d: Flächeninhalt rot

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Im Weiteren wird eine Funktion mit Parameter a, die andere mit Parameter b bezeichnet. Dabei gilt:

$a \neq b$

F_a (t) = F_b (t)

$\frac{1}{16}t^4 - \frac{a\cdot t^3}{3} + \frac{a^2\cdot t^2}{2} = \frac{1}{16}t^4 - \frac{b\cdot t^3}{3} + \frac{b^2 \cdot t^2}{2}$

$\frac{t^3}{3} \left( b - a \right) + \frac{t^2}{2} \left( a + b\right) \left( a - b \right) = 0$

$\left( b - a \right) \cdot \left( \frac{t^3}{3} - \frac{t^2}{2} \left( a + b \right) \right) = 0$

$\left( b - a \right) \neq 0 \Rightarrow \frac{t^3}{3} - \frac{t^2}{2} \left( a + b \right) = 0$

$2 t^3 = 3 t^2 \left( a + b \right) \mid \cdot \frac{1}{t^2}$

$\Rightarrow t = \frac{3a+3b}{2}$

Somit sind zwei Funktionen F_a und F_b flächenmäßig gleich groß, wenn für frei wählbares a und b gilt, dass sie bis

$t_0 = \frac{3a+3b}{2}$ integriert werden. Bei t₀ handelt es sich um die obere Integrationsgrenze.

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