Lösung b): Unterschied zwischen den Versionen

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(→‎Untersuchen sie die Funktionen fa auf Nullstellen und lokale Extremstellen)
(→‎Jeder Graph Ga bestitzt genau einen Wendepunkt Wa. Zeigen sie, dass die Wendepunkte Wa auf einer parallelen zur t-Achse liegen)
 
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<math>y = f_{a}(t) = \frac{2\cdot e^{at}}{e^{at}+29}</math>, <math>t\in R, a\in R, a>0</math>
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:<math>y = f_{a}(t) = \frac{2\cdot e^{at}}{e^{at}+29},</math> <math>t\in R, a\in R, a>0</math>
 
   
 
   
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<math>f'_{a} (t) = \frac{58\cdot a\cdot e^{at} }{(e^{at}+29) ^{2}} </math>
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:<math>f'_{a} (t) = \frac{58\cdot a\cdot e^{at} }{(e^{at}+29) ^{2}} </math>
  
 
==Untersuchen sie die Funktionen f<sub>a</sub> auf Nullstellen und lokale Extremstellen==
 
==Untersuchen sie die Funktionen f<sub>a</sub> auf Nullstellen und lokale Extremstellen==
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'''<u>Suche nach Nullstellen:</u>'''
 
'''<u>Suche nach Nullstellen:</u>'''
  
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<math>f_{a}(t) = \frac{2\cdot e^{at}}{e^{at}+29} = 0 \Rightarrow  2\cdot e^{at} = 0</math>
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Um die Nullstellen einer Funktion zu finden, muss man einfach die Funktion gleich 0 setzen und sehen, für welche t-Werte die Funktion gleich 0 wird.
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<math>\Rightarrow e^{at} = 0 (f)</math><br />
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<math>\Rightarrow</math> keine Nullstellen, da die e-Funktion nie 0 wird und somit der Ausdruck <math>e^{at}\;</math> ebenfalls nie 0 werden kann
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:<math>f_{a}(t) = \frac{2\cdot e^{at}}{e^{at}+29} = 0\;</math><br />
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:<math>2\cdot e^{at} = 0\;</math><br />
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:<math>e^{at} = 0\;\;\;\;\;\;\;\; (f)</math><br />
  
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Daraus folgt, dass es keine Nullstellen gibt, da die e-Funktion nie 0 wird und somit der Ausdruck <math>e^{at}\;</math> ebenfalls nie 0 werden kann.
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'''<u>Suche nach Extremstellen:</u>'''
 
'''<u>Suche nach Extremstellen:</u>'''
  
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<math>f'_{a} (t) = \frac{58\cdot a\cdot e^{at} }{(e^{at}+29) ^{2}} = 0 \Rightarrow 58\cdot a \cdot e^{at} = 0 \Rightarrow e^{at} = 0 (f)</math>
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Um die Extrempunkte einer Funktion zu finden, muss man die 1. Ableitung gleich 0 setzen und sehen, für welche t-Werte die Funktion gleich 0 wird. Anschließend muss überprüft werden, ob an dieser Stelle wirklich ein Extrempunkt vorliegt. Dies kann mittels der Vorzeichentabelle, der h-Methode (beide im späteren Verlauf beim Nachweis des Wendepunkts erläutert) und der [[Facharbeit Mathematik Straßheimer/Die Aufgabe/Lösung b)/Verfahren Extremwertbeweis durch 2. Ableitung|2. Ableitung]] gemacht werden.
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:<math>f'_{a} (t) = \frac{58\cdot a\cdot e^{at} }{(e^{at}+29) ^{2}} = 0\;</math><br />
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:<math>58\cdot a \cdot e^{at} = 0\;</math><br />
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:<math>e^{at} = 0\;\;\;\;\;\;\;\; (f)</math><br />
  
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<math>\Rightarrow</math> keine Extremstellen, da die e-Funktion nie 0 wird und somit der Ausdruck <math>e^{at}\;</math> ebenfalls nie 0 werden kann
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Daraus folgt, dass es keine Extremstellen gibt, da die e-Funktion nie 0 wird und somit der Ausdruck <math>e^{at}\;</math> ebenfalls nie 0 werden kann.
  
 
==Jeder Graph G<sub>a</sub> bestitzt genau einen Wendepunkt W<sub>a</sub>. Zeigen sie, dass die Wendepunkte W<sub>a</sub> auf einer parallelen zur t-Achse liegen==
 
==Jeder Graph G<sub>a</sub> bestitzt genau einen Wendepunkt W<sub>a</sub>. Zeigen sie, dass die Wendepunkte W<sub>a</sub> auf einer parallelen zur t-Achse liegen==
  
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===<u>Die 2. Ableitung:</u>===
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Um einen Wendepunkt zu bestimmen, muss man die 2. Ableitung der Funktion betrachten, da diese das Krümmungsverhalten der Funktion beschreibt. Ein Wendepunkt kann nur an der Stelle vorliegen, an der die 2. Ableitung gleich 0 ist. Anschließend muss noch überprüft werden, ob es an dieser Stelle wirklich einen Wendepunkt geben kann. Zuletzt muss nur noch, nach der erfolgreichen Überprüfung und des Beweises eines Wendepunktes, die t-Koordinate des Wendepunktes in die Funktion eingesetzt werden und der y-Wert bestimmt werden.
  
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<math>f''_{a}(t) = \frac{58\cdot a \cdot e^{at}\cdot a\cdot(e^{at}+29)^{2} - 2 \cdot(e^{at} + 29)\cdot e^{at}\cdot a \cdot 58 \cdot a \cdot e^{at}    }{(e^{at} + 29) ^{4} } =</math><br />
 
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::<math>= \frac{58\cdot a^{2} \cdot e^{at}\cdot (e^{at} + 29) - 2\cdot a^{2} \cdot (e^{at})^{2}\cdot 58  }{(e^{at}+29)^{3}} = 58\cdot a^{2}\cdot \frac{(e^{at})^{2} + 29\cdot e^{at} - 2(e^{at})^2}{(e^{at} + 29)^{3}} = 58\cdot a^{2} \cdot \frac {29\cdot e^{at} - e^{2at}}{(e^{at}+29)^{3}}</math>
 
  
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===<u>Suche nach dem Wendepunkt:</u>===
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'''<u>Die 2. Ableitung:</u>'''
  
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<math>f''_{a}(t) = 58\cdot a^{2} \cdot \frac {29\cdot e^{at} - e^{2at}}{(e^{at}+29)^{3}} = 0 </math>
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Bei der Bildung der 2. Ableitung ist darauf zu achten, dass in diesem Fall nicht nur [http://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/ableitung-produktregel-quotientenregel-ableitungsregel.html die Quotientenregel] verwendet werden muss, sondern auch [http://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/ableitung-kettenregel.html die Kettenregel].
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<math>58\cdot a^{2} (29\cdot e^{at} - e^{2at}) = 0</math>                              <math>| : 58\cdot a^{2} \Rightarrow (a \neq 0)</math>
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        <math>(29\cdot e^{at} - e^{2at}) = 0</math>                              <math>| + e^{2at}\;</math> 
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                <math>29 \cdot e^{at} = e^{2at}</math>                            <math>| ln\;</math>
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            <math>ln(29\cdot e^{at}) = ln(e^{2at})</math>
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      <math>ln(29) + ln(e^{at}) = ln(e^{2at})\;</math>                      <math>| - ln(e^{at})\;</math>
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                <math>ln(29) = ln(e^{2at}) - ln(e^{at})\;</math>
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                <math>ln(29) = 2\cdot a\cdot t \cdot ln(e) - a\cdot t\cdot ln(e)</math>    (ln(e)=1)
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                <math>ln(29) = 2\cdot a\cdot t - a\cdot t</math>
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                <math>ln(29) = a\cdot t</math>
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                      <math>t = \frac {ln29} {a}</math>
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===<u>Beweis für Wendepunkt:</u>===
 
  
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====1. Möglichkeit: Die H-Methode====
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<math>f''_{a}(t) = \frac{58\cdot a \cdot e^{at}\cdot a\cdot(e^{at}+29)^{2} - 2 \cdot(e^{at} + 29)\cdot e^{at}\cdot a \cdot 58 \cdot a \cdot e^{at}    }{(e^{at} + 29) ^{4} } =</math><br />
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::<math>= \frac{58\cdot a^{2} \cdot e^{at}\cdot (e^{at} + 29) - 2\cdot a^{2} \cdot (e^{at})^{2}\cdot 58  }{(e^{at}+29)^{3}} = 58\cdot a^{2}\cdot \frac{(e^{at})^{2} + 29\cdot e^{at} - 2(e^{at})^2}{(e^{at} + 29)^{3}} = 58\cdot a^{2} \cdot \frac {29\cdot e^{at} - e^{2at}}{(e^{at}+29)^{3}}</math>
  
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Man nähert sich dem möglichen Wendepunkt mit Hilfe eines Grenzwertes an und versucht herauszufinden, ob ein Vorzeichenwechsel am Wendepunkt stattfindet. Falls es einen Vorzeichenwechsel geben sollte, ist dies der eindeutige Beweis für einen Wendepunkt an dieser Stelle.
 
  
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'''1. Teil: <math>f''_{a}(\frac {ln29} {a}+h)</math>'''
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'''<u>Suche nach dem Wendepunkt:</u>'''
  
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<math>f''_{a}(\frac {ln29} {a}+h) = \lim_{h \to 0} 58\cdot a^{2}\cdot \frac {29\cdot e^{a\cdot(\frac {ln29} {a}+h)} - e^{2a\cdot(\frac {ln29} {a}+h)}}{(e^{a\cdot (\frac {ln29} {a}+h)}+29)^{3}} = 58\cdot a^{2}\lim_{h \to 0} \frac {29\cdot e^{(\frac {a\cdot ln29} {a} + ah)} - e^{(\frac {2a\cdot ln29} {a} + 2ah)}}{(e^{(\frac {a\cdot ln29} {a} + ah)} + 29)^{3}} = </math>
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Um den Wendepunkt zu finden, muss man die 2. Ableitung gleich 0 setzen. Die t-Koordinate, die man als mögliches Ergebnis bekommt, ist die Stelle, an der ein Wendepunkt auftreten kann.
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::<math>= 58\cdot a^{2}\lim_{h \to 0} \frac {29\cdot e^{(ln29 + ah)} - e^{(2\cdot ln29 + 2ah)}}{(e^{(ln29 + ah)} + 29)^{3}}= 58\cdot a^{2}\lim_{h \to 0} \frac {29\cdot e^{ln29}\cdot e^{ah} - e^{ln(29^{2})}\cdot e^{2ah}}{(e^{ln29}\cdot e^{ah} + 29)^{3}}=</math>
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::<math>= 58\cdot a^{2}\lim_{h \to 0} \frac {29\cdot 29\cdot e^{ah} - 29\cdot 29\cdot e^{2ah}}{(ln29\cdot e^{ah} + 29)^{3}}= 58\cdot 29^{2}\cdot a^{2}\lim_{h \to 0} \frac {e^{ah} - e^{2ah}}{(ln29\cdot e^{ah} + 29)^{3}}=</math>
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::<math>= 58\cdot 29^{2}\cdot a^{2}\lim_{h \to 0} (\frac {1}{(ln29\cdot e^{ah} + 29)^{3}}) \lim_{h \to 0} (e^{ah} - e^{2ah})</math>
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<math>f''_{a}(t) = 58\cdot a^{2} \cdot \frac {29\cdot e^{at} - e^{2at}}{(e^{at}+29)^{3}} = 0 </math>
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::<math>58\cdot a^{2} (29\cdot e^{at} - e^{2at}) = 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;| : 58\cdot a^{2}</math>
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::::<math>(29\cdot e^{at} - e^{2at}) = 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;| + e^{2at}\;</math>
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:::::::<math>29 e^{at} = e^{2at}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;| ln\;</math>
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:::::<math>ln(29 e^{at}) = ln(e^{2at})\;</math>
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:::<math>ln(29) + ln(e^{at}) = ln(e^{2at})\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;| - ln(e^{at})\;</math>
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:::<math>ln(e^{2at}) - ln(e^{at}) = ln(29)\;</math>
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::<math>2at \cdot ln(e) - at\cdot ln(e) = ln(29)</math>
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::::::<math>2at - at = ln(29)\;</math>
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::::::::<math>at = ln(29)\;</math>
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::::::::<math>t = \frac {ln29} {a}</math>
  
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Da die Faktoren <math>58\cdot 29^{2}\cdot a^{2}\lim_{h \to 0} (\frac {1}{(ln29\cdot e^{ah} + 29)^{3}})</math> alle positiv sind, kann ein möglicher Vorzeichenwechsel nur von dem Term <math>\lim_{h \to 0} (e^{ah} - e^{2ah})</math> abhängig sein. Dieser wird nun im folgenden betrachtet:
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Daraus folgt, dass es an der Stelle <math>t = \frac {ln29} {a}</math> einen Wendepunkt geben kann. Dies muss allerdings noch weiter überprüft und bewiesen werden.
  
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'''<u>Beweis für Wendepunkt:</u>'''
  
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:<math>\lim_{h \to 0} (e^{ah} - e^{2ah})= \lim_{h \to 0} (e^{ah} - e^{(ah)^{2}}) >0</math>
 
  
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'''1. Möglichkeit: Vorzeichentabelle'''
  
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Der Zähler ist größer 0, da gilt: <math>e^{ah} > e^{(ah)^{2}}</math>; dies liegt daran, dass der Faktor <math>(ah)^{2}\;</math> durch das Quadrat noch kleiner wird und somit der Term noch stärker gegen 0 strebt. Positiv ist der Zähler nun, da <math>e^{ah}\;</math> gegen 1<sup>+</sup> geht.
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Die Möglichkeit des Nachweises durch die Vorzeichentabelle, ist eine vereinfachte Form der [[Facharbeit Mathematik Straßheimer/Die Aufgabe/Lösung b)/Weitere Verfahren/H-Methode|h-Methode]]. Sie ist deutlich zeitsparender, weshalb sie von mir in Prüfungen empfohlen wird, da somit sehr schnell und fehlerfrei nachgewiesen werden kann, ob es einen Vorzeichenwechsel an der möglichen Stelle gibt.
  
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<math>\Rightarrow  f''_{a}(\frac {ln29} {a}+h) > 0</math>
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Man zerlegt die 2. Ableitung in seine einzelnen Faktoren und betrachtet das Verhalten vor dem möglichen Wendepunkt und nach dem möglichen Wendepunkt. Man notiert sich nun, ob es einen Vorzeichenwechsel bei einem der Faktoren gibt und schlussfolgert aus den einzelnen Vorzeichenwechsel den Vorzeichenwechsel der 2. Ableitung.<br />
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[[Bild:Vorzeichentabelle_Facharbeit2.jpg |500px]]
  
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Aus der Vorzeichentabelle lässt sich nun ganz leicht erkennen, dass es an der Stelle <math>\frac {ln29}{a}</math> einen Vorzeichenwechsel der 2. Ableitung von <math>+</math> zu <math>-</math> gibt. Somit ist es ein Beweis für einen Wendepunkt.
  
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'''2. Teil:  <math>f''_{a}(\frac {ln29} {a}-h)</math>'''
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Es gibt noch 2 weitere Beweisverfahren, welche mathematisch gesehen etwas korrekter sind, allerdings für eine Prüfung wie das Abitur nicht zu empfehlen sind. Falls jemand diese Beweisverfahren sehen möchte, bitte [[Facharbeit Mathematik Straßheimer/Die Aufgabe/Lösung b)/Weitere Verfahren|hier klicken]].<br />
  
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<math>f''_{a}(\frac {ln29} {a}-h) = \lim_{h \to 0} 58\cdot a^{2}\cdot \frac {29\cdot e^{a\cdot(\frac {ln29} {a}-h)} - e^{2a\cdot(\frac {ln29} {a}-h)}}{(e^{a\cdot (\frac {ln29} {a}-h)}+29)^{3}} = 58\cdot a^{2}\lim_{h \to 0} \frac {29\cdot e^{(\frac {a\cdot ln29} {a} - ah)} - e^{(\frac {2a\cdot ln29} {a} - 2ah)}}{(e^{(\frac {a\cdot ln29} {a} - ah)} + 29)^{3}} = </math>
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::<math>= 58\cdot a^{2}\lim_{h \to 0} \frac {29\cdot e^{(ln29 - ah)} - e^{(2\cdot ln29 - 2ah)}}{(e^{(ln29 - ah)} + 29)^{3}}= 58\cdot a^{2}\lim_{h \to 0} \frac {29\cdot \frac {e^{ln29}} {e^{ah}} - \frac {e^{ln(29)^{2}}}{e^{2ah}}}{(\frac {e^{ln29}}{e^{ah}} + 29)^{3}}=</math>
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'''<u>Begründung, warum alle Wendepunkte auf einer Parallelen zur t-Achse liegen:</u>'''
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::<math>= 58\cdot a^{2}\lim_{h \to 0} \frac {29\cdot 29\cdot \frac {1} {e^{ah}} - 29\cdot 29\cdot \frac {1} {e^{2ah}}}{(\frac {ln29} {e^{ah}} + 29)^{3}}= 58\cdot 29^{2}\cdot a^{2}\lim_{h \to 0} \frac {\frac {1} {e^{ah}} - \frac {1} {e^{2ah}}}{(\frac {ln29} {e^{ah}} + 29)^{3}}=</math>
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::<math>= 58\cdot 29^{2}\cdot a^{2}\lim_{h \to 0} (\frac {1}{(\frac {ln29} {e^{ah}} + 29)^{3}}) \lim_{h \to 0} (\frac {1} {e^{ah}} - \frac {1} {e^{2ah}})</math>
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Da wir nun zweifelsfrei nachgewiesen haben, dass es einen Wendepunkt an der Stelle <math>\frac {ln29}{a}</math> gibt, muss nun gezeigt werden, dass alle diese Wendepunkte auf einer Parallelen zur t-Achse liegen.
  
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Da die Faktoren <math>58\cdot 29^{2}\cdot a^{2}\lim_{h \to 0} (\frac {1}{(\frac {ln29} {e^{ah}} + 29)^{3}})</math> alle positiv sind, kann ein möglicher Vorzeichenwechsel nur von dem Term <math>\lim_{h \to 0} (\frac {1} {e^{ah}} - \frac {1} {e^{2ah}})</math> abhängig sein. Dieser wird nun im folgenden betrachtet:
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Bedingung: Alle y-Werte müssen gleich sein
  
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<math>f_{a} (\frac {ln29}{a}) = \frac {2\cdot e^{a\frac {ln29}{a}}} {e^{a\frac {ln29}{a}} + 29} = \frac {2\cdot e^{ln29}} {e^{ln29} + 29} = \frac {2\cdot 29} {29 + 29} = \frac {58}{58} = 1</math>
  
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:<math>\lim_{h \to 0} (\frac {1} {e^{ah}} - \frac {1} {e^{2ah}})= \lim_{h \to 0} (\frac {1} {e^{ah}} - \frac {1} {e^{(ah)^{2}}}) <0</math>
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An dem y-Wert sieht man, dass jeder Wendepunkt den y-Wert 1 hat und dieser völlig unabhängig von a ist. Somit ist zweifelsfrei nachgewiesen worden, dass alle Wendepunkte auf einer Parallelen zur t-Achse liegen
  
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==Zeichnen sie die Graphen G<sub>0,75</sub> und G<sub>1</sub> in ein und dasselbe Koordinatensystem und schlussfolgern Sie, welchen Einfluss der Parameter a auf den Verlauf der Graphen G<sub>a</sub> hat==
  
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Der Zähler ist kleiner 0, da gilt: <math>e^{ah} < e^{(ah)^{2}}</math>; dies liegt daran, dass der Faktor <math>(ah)^{2}\;</math> durch das Quadrat noch kleiner wird und somit der Term noch stärker gegen 0 strebt. Da jedoch nun die Kehrwerte gebildet werden, wird der Term <math>\frac {1} {e^{(ah)^{2}}}\;</math> größer als der Term <math>\frac {1} {e^{(ah)}}\;</math> Negativ ist der Zähler nun, da <math>e^{ah}\;</math> gegen 1<sup>-</sup> geht.
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[[Bild:Graph-facharbeit11.png|350px|right]]
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Man soll nun die beiden Graphen G<sub>1</sub> und G<sub>0,75</sub> miteinander vergleichen. Im nebenstehenden Bild kann man die Graphen, sowie die beiden Wendepunkte und die Ortskurve der Wendepunkte erkennen. Der rote Graph beschreibt die Funktion <math>f_{0,75} (t)\;</math> und der blaue die Funktion <math>f_{1} (t)\;</math>.  
  
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====2. Möglichkeit: 3. Ableitung====
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Anhand der Graphen lässt sich nun sehr leicht der Einfluss der Variablen a auf den Graphen der Funktion festmachen. Wie man erkennen kann, ist die Variable a für die maximale Steigung des Graphen verantwortlich. Je größer a wird, desto größer ist die Steigung im Wendepunkt WP<sub>a</sub>. Außerdem verlagert sich die t-Koordinate, des Wendepunkts immer weiter nach "links", was bedeutet, dass sie immer kleiner wird.
  
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Mit Hilfe der 3. Ableitung lässt sich sehr leicht herausfinden, ob an dem möglichen Wendepunkt auch wirklich einer vorhanden ist. Mann muss lediglich die 3. Ableitung an der Stelle des möglichen Wendepunkts bilden und schauen, ob die 3. Ableitung an dieser Stelle ungleich 0 ist. Falls dies der Fall ist, ist dies der eindeutige Beweis für die Existenz eines Wendepunkts.
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Für diejenigen, die den allgemeinen Verlauf in Abhängigkeit von a nochmals sehen wollen<br />
  
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'''Die 3. Ableitung:'''
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{{Lösung versteckt |
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<ggb_applet width="758" height="495"  version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" />
 +
}}
  
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<math>f'''_{a} (t) = 58\cdot a^{2}\cdot \frac {(29\cdot e^{at}\cdot a - e^{2at}\cdot 2a)\cdot (e^{at} + 29)^{3} - 3\cdot (e^{at} + 29)^{2} \cdot e^{at}\cdot a\cdot (29\cdot e^{at} - e^{2at})} {((e^{at} + 29)^{3})^{2}} =</math>
 
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::<math>= 58\cdot a^{2}\cdot \frac {a\cdot(29\cdot e^{at} - 2\cdot e^{2at} )\cdot (e^{at} + 29)^{3} - 3\cdot e^{at}\cdot a\cdot (e^{at} + 29)^{2} \cdot (29\cdot e^{at} - e^{2at})} {(e^{at} + 29)^{2\cdot 3}} =</math>
 
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::<math>= 58\cdot a^{3}\cdot \frac {(29\cdot e^{at} - 2\cdot e^{2at} )\cdot (e^{at} + 29)^{3} - 3\cdot e^{at}\cdot (e^{at} + 29)^{2} \cdot (29\cdot e^{at} - e^{2at})} {(e^{at} + 29)^{6}} =</math>
 
−
::<math>= 58\cdot a^{3}\cdot \frac {(29\cdot e^{at} - 2\cdot e^{2at} )\cdot (e^{at} + 29) - 3\cdot e^{at}\cdot (29\cdot e^{at} - e^{2at})} {(e^{at} + 29)^{4}} =</math>
 
−
::<math>= 58\cdot a^{3}\cdot \frac {29\cdot e^{at}\cdot e^{at} + 29^{2} \cdot e^{at} - 2\cdot e^{2at}\cdot e^{2at} - 2\cdot 29\cdot e^{2at} - 3\cdot 29\cdot e^{at}\cdot e^{at} + 3\cdot e^{at}\cdot e^{2at}} {(e^{at} + 29)^{4}} =</math>
 
−
::<math>= 58\cdot a^{3}\cdot \frac {29\cdot e^{2at} + 29^{2} \cdot e^{at} - 2\cdot e^{4at} - 58\cdot e^{2at} - 87\cdot e^{2at} + 3\cdot e^{3at}} {(e^{at} + 29)^{4}} =</math>
 
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::<math>= 58\cdot a^{3}\cdot \frac {29^{2} \cdot e^{at} - 116\cdot e^{2at} + 3\cdot e^{3at} - 2\cdot e^{4at}} {(e^{at} + 29)^{4}}</math>
 
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'''Möglichen Wendepunkt in die 3. Ableitung einsetzen:'''
 
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<math>f'''_{a} (\frac {ln29} {a}) = 58\cdot a^{3}\cdot \frac {29^{2} \cdot e^{a \frac {ln29} {a}} - 116\cdot e^{2a \frac {ln29} {a}} + 3\cdot e^{3a \frac {ln29} {a}} - 2\cdot e^{4a \frac {ln29} {a}}} {(e^{a\frac {ln29} {a}} + 29)^{4}}=</math>
 
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::::<math>= 58\cdot a^{3}\cdot \frac {29^{2} \cdot e^{ln29} - 116\cdot e^{2\cdot ln29} + 3\cdot e^{3\cdot ln29} - 2\cdot e^{4\cdot ln29}} {(e^{ln29} + 29)^{4}}=</math>
 
−
::::<math>= 58\cdot a^{3}\cdot \frac {29^{2} \cdot e^{ln29} - 116\cdot e^{ln(29)^{2}} + 3\cdot e^{ln(29)^{3}} - 2\cdot e^{ln(29)^{4}}} {(e^{ln29} + 29)^{4}}=</math>
 
−
::::<math>= 58\cdot a^{3}\cdot \frac {29^{2} \cdot 29 - 116\cdot 29^{2} + 3\cdot 29^{3} - 2\cdot 29^{4}} {(29 + 29)^{4}}=</math>
 
−
::::<math>= 58\cdot a^{3}\cdot \frac {29^{3} - 29\cdot 4\cdot 29^{2} + 3\cdot 29^{3} - 2\cdot 29^{4}} {(58)^{4}}=</math>
 
−
::::<math>= 58\cdot a^{3}\cdot  \frac {29^{3} - 4\cdot 29^{3} + 3\cdot 29^{3} - 2\cdot 29^{4}} {(58)^{4}}=</math>
 
−
::::<math>= 58\cdot 29^{3} \cdot a^{3}\cdot  \frac {1 - 4 + 3 - 2} {(58)^{4}}=</math>
 
−
::::<math>= 58\cdot 29^{3} \cdot a^{3}\cdot  \frac {- 2} {(58)^{4}} \neq 0</math>
 
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<math>\Rightarrow</math> An der Stelle <math>t = \frac {ln29} {a}</math> ist eindeutig ein Wendepunkt nachgewiesen worden, da die 3. Ableitung an dieser Stelle ungleich 0 ist.
 
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====3. Möglichkeit: Vorzeichentabelle====
 
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Die Möglichkeit des Nachweises durch die Vorzeichentabelle, ist eine vereinfachte Form der H-Methode. Sie ist deutlich zeitsparender, weshalb sie von mir in Prüfungen empfohlen wird, da somit sehr schnell und fehlerfrei nachgewiesen werden kann, ob es einen Vorzeichenwechsel an der möglichen Stelle gibt.
 
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Man zerlegt die 2. Ableitung in seine einzelnen Faktoren und betrachtet das Verhalten vor dem möglichen Wendepunkt und nach dem möglichen Wendepunkt. Man notiert sich nun, ob es einen Vorzeichenwechsel bei einem der Faktoren gibt und schlussfolgert aus den einzelnen Vorzeichenwechsel den Vorzeichenwechsel der 2. Ableitung.<br />
 
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[[Bild:Vorzeichentabelle_Facharbeit2.jpg |500px]]
 
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Aus der Vorzeichentabelle lässt sich nun ganz leicht erkennen, dass es an der Stelle <math>\frac {ln29}{a}</math> einen Vorzeichenwechsel der 2. Ableitung von <math>+</math> zu <math>-</math> gibt. Somit ist es ein Beweis für einen Wendepunkt.
 
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===<u>Begründung, warum alle Wendepunkte auf einer Parallelen zur t-Achse liegen:</u>===
 
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==Zeichnen sie die Graphen G<sub>0,75</sub> und G<sub>1</sub> in ein und dasselbe Koordinatensystem und schlussfolgern Sie, welchen Einfluss der Parameter a auf den Verlauf der Graphen G<sub>a</sub> hat==
 
  
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===<u>Der Graph</u>===
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[[Facharbeit Mathematik Straßheimer/Die Aufgabe|Zurück zur Aufgabe]]

Aktuelle Version vom 28. Januar 2010, 23:23 Uhr

y = f_{a}(t) = \frac{2\cdot e^{at}}{e^{at}+29}, t\in R, a\in R, a>0
f'_{a} (t) = \frac{58\cdot a\cdot e^{at} }{(e^{at}+29) ^{2}}

Untersuchen sie die Funktionen fa auf Nullstellen und lokale Extremstellen

Suche nach Nullstellen:

Um die Nullstellen einer Funktion zu finden, muss man einfach die Funktion gleich 0 setzen und sehen, für welche t-Werte die Funktion gleich 0 wird.

f_{a}(t) = \frac{2\cdot e^{at}}{e^{at}+29} = 0\;
2\cdot e^{at} = 0\;
e^{at} = 0\;\;\;\;\;\;\;\; (f)

Daraus folgt, dass es keine Nullstellen gibt, da die e-Funktion nie 0 wird und somit der Ausdruck e^{at}\; ebenfalls nie 0 werden kann.


Suche nach Extremstellen:

Um die Extrempunkte einer Funktion zu finden, muss man die 1. Ableitung gleich 0 setzen und sehen, für welche t-Werte die Funktion gleich 0 wird. Anschließend muss überprüft werden, ob an dieser Stelle wirklich ein Extrempunkt vorliegt. Dies kann mittels der Vorzeichentabelle, der h-Methode (beide im späteren Verlauf beim Nachweis des Wendepunkts erläutert) und der 2. Ableitung gemacht werden.

f'_{a} (t) = \frac{58\cdot a\cdot e^{at} }{(e^{at}+29) ^{2}} = 0\;
58\cdot a \cdot e^{at} = 0\;
e^{at} = 0\;\;\;\;\;\;\;\; (f)

Daraus folgt, dass es keine Extremstellen gibt, da die e-Funktion nie 0 wird und somit der Ausdruck e^{at}\; ebenfalls nie 0 werden kann.

Jeder Graph Ga bestitzt genau einen Wendepunkt Wa. Zeigen sie, dass die Wendepunkte Wa auf einer parallelen zur t-Achse liegen

Um einen Wendepunkt zu bestimmen, muss man die 2. Ableitung der Funktion betrachten, da diese das Krümmungsverhalten der Funktion beschreibt. Ein Wendepunkt kann nur an der Stelle vorliegen, an der die 2. Ableitung gleich 0 ist. Anschließend muss noch überprüft werden, ob es an dieser Stelle wirklich einen Wendepunkt geben kann. Zuletzt muss nur noch, nach der erfolgreichen Überprüfung und des Beweises eines Wendepunktes, die t-Koordinate des Wendepunktes in die Funktion eingesetzt werden und der y-Wert bestimmt werden.


Die 2. Ableitung:

Bei der Bildung der 2. Ableitung ist darauf zu achten, dass in diesem Fall nicht nur die Quotientenregel verwendet werden muss, sondern auch die Kettenregel.


f''_{a}(t) = \frac{58\cdot a \cdot e^{at}\cdot a\cdot(e^{at}+29)^{2} - 2 \cdot(e^{at} + 29)\cdot e^{at}\cdot a \cdot 58 \cdot a \cdot e^{at} }{(e^{at} + 29) ^{4} } =

= \frac{58\cdot a^{2} \cdot e^{at}\cdot (e^{at} + 29) - 2\cdot a^{2} \cdot (e^{at})^{2}\cdot 58 }{(e^{at}+29)^{3}} = 58\cdot a^{2}\cdot \frac{(e^{at})^{2} + 29\cdot e^{at} - 2(e^{at})^2}{(e^{at} + 29)^{3}} = 58\cdot a^{2} \cdot \frac {29\cdot e^{at} - e^{2at}}{(e^{at}+29)^{3}}


Suche nach dem Wendepunkt:

Um den Wendepunkt zu finden, muss man die 2. Ableitung gleich 0 setzen. Die t-Koordinate, die man als mögliches Ergebnis bekommt, ist die Stelle, an der ein Wendepunkt auftreten kann.

f''_{a}(t) = 58\cdot a^{2} \cdot \frac {29\cdot e^{at} - e^{2at}}{(e^{at}+29)^{3}} = 0

58\cdot a^{2} (29\cdot e^{at} - e^{2at}) = 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;| : 58\cdot a^{2}
(29\cdot e^{at} - e^{2at}) = 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;| + e^{2at}\;
29 e^{at} = e^{2at}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;| ln\;
ln(29 e^{at}) = ln(e^{2at})\;
ln(29) + ln(e^{at}) = ln(e^{2at})\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;| - ln(e^{at})\;
ln(e^{2at}) - ln(e^{at}) = ln(29)\;
2at \cdot ln(e) - at\cdot ln(e) = ln(29)
2at - at = ln(29)\;
at = ln(29)\;
t = \frac {ln29} {a}

Daraus folgt, dass es an der Stelle t = \frac {ln29} {a} einen Wendepunkt geben kann. Dies muss allerdings noch weiter überprüft und bewiesen werden.

Beweis für Wendepunkt:


1. Möglichkeit: Vorzeichentabelle

Die Möglichkeit des Nachweises durch die Vorzeichentabelle, ist eine vereinfachte Form der h-Methode. Sie ist deutlich zeitsparender, weshalb sie von mir in Prüfungen empfohlen wird, da somit sehr schnell und fehlerfrei nachgewiesen werden kann, ob es einen Vorzeichenwechsel an der möglichen Stelle gibt.

Man zerlegt die 2. Ableitung in seine einzelnen Faktoren und betrachtet das Verhalten vor dem möglichen Wendepunkt und nach dem möglichen Wendepunkt. Man notiert sich nun, ob es einen Vorzeichenwechsel bei einem der Faktoren gibt und schlussfolgert aus den einzelnen Vorzeichenwechsel den Vorzeichenwechsel der 2. Ableitung.
Vorzeichentabelle Facharbeit2.jpg

Aus der Vorzeichentabelle lässt sich nun ganz leicht erkennen, dass es an der Stelle \frac {ln29}{a} einen Vorzeichenwechsel der 2. Ableitung von + zu - gibt. Somit ist es ein Beweis für einen Wendepunkt.

Es gibt noch 2 weitere Beweisverfahren, welche mathematisch gesehen etwas korrekter sind, allerdings für eine Prüfung wie das Abitur nicht zu empfehlen sind. Falls jemand diese Beweisverfahren sehen möchte, bitte hier klicken.


Begründung, warum alle Wendepunkte auf einer Parallelen zur t-Achse liegen:

Da wir nun zweifelsfrei nachgewiesen haben, dass es einen Wendepunkt an der Stelle \frac {ln29}{a} gibt, muss nun gezeigt werden, dass alle diese Wendepunkte auf einer Parallelen zur t-Achse liegen.

Bedingung: Alle y-Werte müssen gleich sein

f_{a} (\frac {ln29}{a}) = \frac {2\cdot e^{a\frac {ln29}{a}}} {e^{a\frac {ln29}{a}} + 29} = \frac {2\cdot e^{ln29}} {e^{ln29} + 29} = \frac {2\cdot 29} {29 + 29} = \frac {58}{58} = 1

An dem y-Wert sieht man, dass jeder Wendepunkt den y-Wert 1 hat und dieser völlig unabhängig von a ist. Somit ist zweifelsfrei nachgewiesen worden, dass alle Wendepunkte auf einer Parallelen zur t-Achse liegen

Zeichnen sie die Graphen G0,75 und G1 in ein und dasselbe Koordinatensystem und schlussfolgern Sie, welchen Einfluss der Parameter a auf den Verlauf der Graphen Ga hat

Graph-facharbeit11.png

Man soll nun die beiden Graphen G1 und G0,75 miteinander vergleichen. Im nebenstehenden Bild kann man die Graphen, sowie die beiden Wendepunkte und die Ortskurve der Wendepunkte erkennen. Der rote Graph beschreibt die Funktion f_{0,75} (t)\; und der blaue die Funktion f_{1} (t)\;.

Anhand der Graphen lässt sich nun sehr leicht der Einfluss der Variablen a auf den Graphen der Funktion festmachen. Wie man erkennen kann, ist die Variable a für die maximale Steigung des Graphen verantwortlich. Je größer a wird, desto größer ist die Steigung im Wendepunkt WPa. Außerdem verlagert sich die t-Koordinate, des Wendepunkts immer weiter nach "links", was bedeutet, dass sie immer kleiner wird.

Für diejenigen, die den allgemeinen Verlauf in Abhängigkeit von a nochmals sehen wollen




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