Lösung c): Unterschied zwischen den Versionen
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(→Der Graph G1, die t-Achse und die Gerade mit der Gleichung t = ln(29)\; begrenzen eine Fläche. Berechnen Sie die Maßzahl des Inhalts dieser Fläche) |
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Um den Flächeninhalt in dem Teilstück, welches der Graph G<sub>1</sub> mit der t-Achse und der Geraden mit der Gleichung <math>t = ln29 \;</math> einschließt, muss man das Integral mit der oberen Grenze <math>t = ln29 \;</math> und der unteren Grenze <math>- \infty </math> bilden. | Um den Flächeninhalt in dem Teilstück, welches der Graph G<sub>1</sub> mit der t-Achse und der Geraden mit der Gleichung <math>t = ln29 \;</math> einschließt, muss man das Integral mit der oberen Grenze <math>t = ln29 \;</math> und der unteren Grenze <math>- \infty </math> bilden. | ||
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:<math>= 2\cdot [ln58 - \lim_{a \to -\infty } ln(e^{a} + 29)] =</math> | :<math>= 2\cdot [ln58 - \lim_{a \to -\infty } ln(e^{a} + 29)] =</math> | ||
:<math>= 2\cdot [ln58 - ln29] = 2\cdot ln(\frac {58} {29})= 2\cdot ln2</math> | :<math>= 2\cdot [ln58 - ln29] = 2\cdot ln(\frac {58} {29})= 2\cdot ln2</math> | ||
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| + | Der Schritt der Integralbildung, also von <math>\lim_{a \to -\infty } 2\cdot \int_a^{ln29} \! \frac {e^{t}} {e^{t} + 29} \, dt </math> zu <math>\lim_{a \to -\infty } 2\cdot \left[ln(e^{t} + 29)\right]_{a}^{ln29} </math> ist eines der Grundintegrale, welches besagt, dass das Integral der 1. Ableitung einer Funktion f geteilt durch die Funktion f der <math>ln\;</math> der der Funktion ist. Dies steht in der Formelsammlung auf Seite 67 (vgl. J. Lindauer Verlag: Mathematische Formeln und Definitionen, München 2008) | ||
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Aktuelle Version vom 28. Januar 2010, 22:30 Uhr
Der Graph G1, die t-Achse und die Gerade mit der Gleichung 
begrenzen eine Fläche. Berechnen Sie die Maßzahl des Inhalts dieser Fläche
Um den Flächeninhalt in dem Teilstück, welches der Graph G1 mit der t-Achse und der Geraden mit der Gleichung 
einschließt, muss man das Integral mit der oberen Grenze und der unteren Grenze 
bilden.
Zu beachten ist hierbei, dass ein Grenzwert benötigt wird, der gegen läuft, da man nicht für t einsetzen darf.
![= \lim_{a \to -\infty } 2\cdot \left[ln(e^{t} + 29)\right]_{a}^{ln29} =](/images/math/5/e/f/5ef69570e3c97ca6df07b2edee79eea9.png)
![= 2\cdot [ln(29 + 29) - \lim_{a \to -\infty } ln(e^{a} + 29)] =](/images/math/a/0/e/a0e5624221da6247f6d3e172d6c959cd.png)
![= 2\cdot [ln58 - \lim_{a \to -\infty } ln(e^{a} + 29)] =](/images/math/d/2/d/d2d45cfc74e48d48b7c7e0516e649e2e.png)
![= 2\cdot [ln58 - ln29] = 2\cdot ln(\frac {58} {29})= 2\cdot ln2](/images/math/c/c/d/ccda4d78945986989f6307e0c7884b4c.png)
Der Schritt der Integralbildung, also von 
zu ![\lim_{a \to -\infty } 2\cdot \left[ln(e^{t} + 29)\right]_{a}^{ln29}](/images/math/8/5/9/8595cbfb29e8a51ecb7745394ff8f259.png)
ist eines der Grundintegrale, welches besagt, dass das Integral der 1. Ableitung einer Funktion f geteilt durch die Funktion f der 
der der Funktion ist. Dies steht in der Formelsammlung auf Seite 67 (vgl. J. Lindauer Verlag: Mathematische Formeln und Definitionen, München 2008)
