Lösung a) ab): Unterschied zwischen den Versionen

Aus RMG-Wiki
Wechseln zu: Navigation, Suche
(Die Seite wurde neu angelegt: <math>y = f_{a}(t) = \frac{2\cdot e^{at}}{e^{at}+29}</math>, <math>t\in R, a\in R, a>0</math> ==Zeigen Sie, dass alle Funktionen f<sub>a</sub> monoton steigend sind==...)
 
 
(5 dazwischenliegende Versionen von einem Benutzer werden nicht angezeigt)
Zeile 4: Zeile 4:
  
 
<math>f'_{a} (t) = \frac{2\cdot a\cdot e^{at}\cdot (e^{at} + 29) - 2\cdot e^{at}\cdot a\cdot e^{at} }{(e^{at}+29) ^{2} } = 2\cdot a\cdot \frac{(e^{at}) ^{2} + 29\cdot e^{at} - (e^{at}) ^{2} }{(e^{at}+29) ^{2}} = \frac{58\cdot a\cdot e^{at} }{(e^{at}+29) ^{2}} </math>
 
<math>f'_{a} (t) = \frac{2\cdot a\cdot e^{at}\cdot (e^{at} + 29) - 2\cdot e^{at}\cdot a\cdot e^{at} }{(e^{at}+29) ^{2} } = 2\cdot a\cdot \frac{(e^{at}) ^{2} + 29\cdot e^{at} - (e^{at}) ^{2} }{(e^{at}+29) ^{2}} = \frac{58\cdot a\cdot e^{at} }{(e^{at}+29) ^{2}} </math>
 +
 +
 +
 +
Suche nach möglichem Extrempunkt; falls kein Extrempunkt vorhanden ist, zeigt dies, dass die Funktion monoton steigend oder fallend sein muss.
 +
 +
<math>f'_{a}(t)  = 0  \Rightarrow 58\cdot a\cdot e^{at} = 0 \Rightarrow e^{at} = 0</math> (f)
 +
 +
 +
Da die e-Fkt. nie 0 werden kann, sondern dieser sich immer nur annähert, gibt es keine mögliche Stelle für einen Extrempunkt. Somit lässt sich folgern, dass die Funktion entweder streng monoton steigend oder fallend ist.
 +
 +
Beweis dafür, dass die Funktion streng monoton steigend ist:
 +
 +
Da man nun weiß, dass es keinen Extrempunkt gibt, an der sich das Monotonieverhalten ändern kann, lässt sich sehr leicht aus den Grenzwerten gegen <math>\pm  \infty </math>, die man berechnet hat.
 +
 +
Der Grenzwert <math>t -> - \infty </math> geht gegen 0<br />
 +
Der Grenzwert <math>t -> \infty </math> geht gegen 2<br />[[Facharbeit Mathematik Straßheimer/Die Aufgabe/Lösung a) aa)|Herleitung findet ihr hier nochmal]]
 +
 +
Anhand dieser Grenzwerte und dem fehlenden Extrempunkt geht deutlich hervor, dass die Funktion einen streng monoton steigenden Verlauf nimmt, der sich 0 und 2 annähert
 +
 +
 +
 +
[[Facharbeit Mathematik Straßheimer/Die Aufgabe|Zurück zur Aufgabe]]

Aktuelle Version vom 6. Januar 2010, 13:22 Uhr

y = f_{a}(t) = \frac{2\cdot e^{at}}{e^{at}+29}, t\in R, a\in R, a>0

Zeigen Sie, dass alle Funktionen fa monoton steigend sind

f'_{a} (t) = \frac{2\cdot a\cdot e^{at}\cdot (e^{at} + 29) - 2\cdot e^{at}\cdot a\cdot e^{at} }{(e^{at}+29) ^{2} } = 2\cdot a\cdot \frac{(e^{at}) ^{2} + 29\cdot e^{at} - (e^{at}) ^{2} }{(e^{at}+29) ^{2}} = \frac{58\cdot a\cdot e^{at} }{(e^{at}+29) ^{2}}


Suche nach möglichem Extrempunkt; falls kein Extrempunkt vorhanden ist, zeigt dies, dass die Funktion monoton steigend oder fallend sein muss.

f'_{a}(t) = 0 \Rightarrow 58\cdot a\cdot e^{at} = 0 \Rightarrow e^{at} = 0 (f)


Da die e-Fkt. nie 0 werden kann, sondern dieser sich immer nur annähert, gibt es keine mögliche Stelle für einen Extrempunkt. Somit lässt sich folgern, dass die Funktion entweder streng monoton steigend oder fallend ist.

Beweis dafür, dass die Funktion streng monoton steigend ist:

Da man nun weiß, dass es keinen Extrempunkt gibt, an der sich das Monotonieverhalten ändern kann, lässt sich sehr leicht aus den Grenzwerten gegen \pm \infty , die man berechnet hat.

Der Grenzwert t -> - \infty geht gegen 0
Der Grenzwert t -> \infty geht gegen 2
Herleitung findet ihr hier nochmal

Anhand dieser Grenzwerte und dem fehlenden Extrempunkt geht deutlich hervor, dass die Funktion einen streng monoton steigenden Verlauf nimmt, der sich 0 und 2 annähert


Zurück zur Aufgabe

Von „http://rmg.zum.de/index.php?title=Facharbeit_Mathematik_Straßheimer/Die_Aufgabe/Lösung_a)_ab)&oldid=25808“