2006 IV

Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2006 Stochastik IV Download der Originalaufgaben: Abitur 2006 LK Mathematik Bayern - Lösung gesamt Erarbeitet von Christian Burkard und Julius Schmidt

Die Firma VEGAS hat ein neues Gesellschaftsspiel entwickelt, bei dem neben Laplace-Würfeln auch spezielle Vegas-Würfel verwendet werden, die sich äußerlich von den Laplace-Würfeln nicht unterscheiden. Die Vegas- Würfel zeigen die Augenzahl „6“ mit der erhöhten Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{3}$ , während die anderen Augenzahlen untereinander gleich wahrscheinlich sind. Aufgabe 1 Zeigen Sie, dass der Erwartungswert der Zufallsgröße „Augenzahl beim einmaligen Werfen eines Vegas-Würfels“ 4 ist. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Aufgabe 2 Auf dem Tisch liegen ungeordnet drei Laplace-Würfel und ein Vegas-Würfel. Ein Spieler nimmt davon zufällig drei Würfel und wirft sie gleichzeitig. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erzielt er drei gleiche Augenzahlen, wenn er drei Laplace-Würfel genommen hat? Mit welcher Wahrschein-lichkeit erzielt er drei gleiche Augenzahlen, wenn er zwei Laplace-Würfel und den Vegas-Würfel genommen hat? Welche Folgerung können Sie aus Ihren Ergebnissen bezüglich der stochastischen Abhängigkeit der Ereignisse „Er erzielt drei gleiche Augenzahlen“ und „Er nimmt drei Laplace-Würfel“ ziehen? [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Aufgabe 3 Um bei einem Würfel festzustellen, ob es sich um einen Laplace- oder Vegas-Würfel handelt, wird er 100 mal geworfen. Ein Vegas-Würfel soll mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99 % als solcher eingestuft werden. a) Bestimmen Sie hierzu die Entscheidungsregel anhand der Anzahl der geworfenen Sechser so, dass möglichst auch ein Laplace-Würfel richtig eingestuft wird. [Ergebnis: Entscheidung für Vegas-Würfel ab 23 geworfenen Sechsern] [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird bei dieser Entscheidungsregel ein Laplace-Würfel falsch eingestuft? [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Eine Packung des Spiels enthält – ungeordnet und äußerlich nicht unter-scheidbar – 7 Laplace- und 3 Vegas-Würfel. Aufgabe 4 Aus dieser Packung wird ein Würfel entnommen und 100-mal geworfen. Mit welcher Wahrschein¬lichkeit handelt es sich um einen Vegas-Würfel, wenn dabei 25-mal eine „6“ geworfen wird? [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Aufgabe 5 Die 10 Würfel werden nun einzeln nacheinander aus der Packung ent-nommen und je 100-mal geworfen. a) Die Zufallsgröße X bezeichne die Anzahl der geworfenen Sechser unter den insgesamt 1000 durchzuführenden Würfen. Berechnen Sie Erwartungs¬wert und Varianz von X. [Ergebnis: $E(X)=216\frac{2}{3}, Var(X) = 163\frac{8}{9}$ ] [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] b) Die Zufallsgröße X ist näherungsweise normalverteilt. Berechnen Sie mit Hilfe der Normalverteilung, mit welcher Wahrscheinlichkeit bei den 1000 Würfen mehr als 225-mal eine „6“ geworfen wird. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Aufgabe 6 Bei einem Spiel werden jeweils 5 Würfel geworfen. Aus den Augen-zahlen – aufgefasst als Ziffern – werden möglichst große fünfstellige natürliche Zahlen gebildet, z. B. 43321, nicht jedoch 34312. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man eine Zahl größer als 50000, wenn es sich um 5 Laplace-Würfel handelt? [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] b) Wie viele verschiedene natürliche Zahlen können nach dieser Spiel-regel gebildet werden? Wählen Sie aus den folgenden kombina-torischen „Modellen“ zunächst das für dieses Problem passende aus und bestimmen Sie dann mit dessen Hilfe die gesuchte Anzahl. A) Anzahl der fünfstelligen Zahlen aus den Ziffern 1 bis 6 dividiert durch die Zahl der Permutationen von 5 Elementen B) Zahl der möglichen Verteilungen von 5 Kugeln auf 6 Urnen, wobei es nur auf die jeweilige Anzahl der Kugeln in den Urnen ankommt C) Zahl der möglichen Verteilungen von 6 Kugeln auf 5 Urnen, wobei es nur auf die jeweilige Anzahl der Kugeln in den Urnen ankommt [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]