Lösung: Wendepunkte

$y = f_a (x) = ( x - a )\cdot e^{a+2-x}$ mit $x\in R$ ; $a\in R$

Wendepunkte

Zweite Ableitung: siehe Überprüfung des Extrempunkts; 2. Möglichkeit

$f_a^{''} (x) = e^{a+2-x}\cdot ( x - a - 2 )$

Um mögliche Wendepunkte zu bestimmen benötigt man die zweite Ableitung.

Die zweite Ableitung einer Funktion beschreibt das Krümmungsverhalten dieser. Dieses ändert sich für $f_a^{''} (x) = 0\;$ und deshalb könnte ein möglicher Wendepunkt auftreten.

$f_a^{''} (x) = 0\;$

$e^{a+2-x}\cdot ( x - a - 2 ) = 0 \;\;\;\;\;\; | \; e^{a+2-x} > 0$

$\rightarrow \; ( x - a - 2 ) = 0 \;\;\;\;\;\;\;\; | \; + 2 ; + a$

$x = a + 2\;$

Möglicher Wendepunkt bei $x = a + 2 \;$
Einsetzen des möglichen Wendepunkts in die Funktion.

$f_a ( a + 2 ) = ( a + 2 - a )\cdot e^{a+2-(a + 2 )}$

$= 2\cdot e^{a+2-a - 2 )}$

$= 2\cdot e^0$

$= 2\;$

$\rightarrow$ mög. WP $\; ( a + 2 / 2 )$

Überprüfung des Wendepunkts

1. Möglichkeit; H-Methode

Wenn es einen Vorzeichenwechsel (VZW) des Krümmungsverhaltens der Funktion am möglichen Wendepunkt gibt, kann man von einem Wendepunkt sprechen.

I.

$\lim_{h\to 0}f_a^{''} ( a + 2 - h ) = \lim_{h\to 0}e^{a + 2 - (a + 2 - h )}\cdot ( a + 2 - h - a - 2 )$

$=\lim_{h\to 0} e^{a + 2 - a- 2 + h }\cdot (- h)$

$= \lim_{h\to 0}e^{h }\cdot ( -h )$

$= \lim_{h\to 0}-h\cdot e^{h }$

$\lim_{h\to 0}f_a^{''} ( a + 2 - h )<0$

$\rightarrow$ An der Stelle $\lim_{h\to 0}f_a^{''}( a +2+ h )\;$ ist der Graph linksgekrümmt.(I)

II.

$\lim_{h\to 0}f_a^{''} ( a + 2 + h ) =\lim_{h\to 0} e^{a + 2 - (a + 2 + h )}\cdot ( a + 2 + h - a - 2 )$

$=\lim_{h\to 0} e^{a + 2 - a- 2 - h }\cdot (+ h)$

$= \lim_{h\to 0}e^{-h }\cdot ( +h )$

$= \lim_{h\to 0}+h\cdot e^{-h }$

$\lim_{h\to 0}f_a^{''} ( a + 2 + h )>0$

$\rightarrow$ An der Stelle $\lim_{h\to 0}f_a^{'}(a+2-h )\;$ ist der Graph rechtsgekrümmt.(II)

Aus (I) und (II) folgt:
VZW bei $x = a + 2\;$
$\Rightarrow$ Wendepunkt bei $\;( a + 2 / 2 )\;$

zur Verdeutlichung:

Krümmungsverhalten

	x<2+a		x=2+a		x>2+a
ea + 2 - x		+		+
( x - a - 2 )		-		+
fa ( x )		-		+

$\rightarrow$ WP $( a + 2 / 2 )\;$

2. Möglichkeit; 3.Ableitung

Verwendung der dritten Ableitung

$f_a (x) = e^{a+2-x}\cdot ( x - a)$

$f_a^{'} (x) = e^{a+2-x}\cdot ( 1+a-x )$

$f_a^{''} (x) = e^{a+2-x}\cdot ( x - a - 2 )$

Um die dritte Ableitung zu bekommen muss man hier die Produktregel verwenden. [Hilfe zur Produktregel]

$f_a^{'''} (x) = e^{a+2-x}\cdot ( x - a - 2 )\cdot (-1) + 1\cdot e^{a+2-x}$

$= e^{a+2-x}\cdot ( a + 2 - x + 1 )$

$= ( a + 3 - x )\cdot e^{a+2-x}$

Wenn die dritte Ableitung am möglichen Wendepunkt ungleich Null ist, liegt ein Wendepunkt vor.

$f_a^{'''} ( a + 2 ) = ( a + 3 - ( a + 2 ))\cdot e^{a + 2 - ( a + 2 )}$

$= ( a + 3 - a - 2 ) \cdot e^{a + 2 - a - 2 }$

$= 1\cdot e^{0}$

$= 1\;$

$> 0\;$

$\rightarrow$ WP $( a + 2 / 2 )\;$