Aufgabenstellung

Für jede reelle Zahl a sei eine Funktion $f_a\;$ durch $y = f_a (x) = ( x - a )\cdot e^{a+2-x}$ mit $x\in R$ gegeben.

Teilaufgabe a)

1. Untersuchen Sie den Graphen von $f_a\,$ auf:

• Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen,
• lokale Extrempunkte und
• Wendepunkte!

Bestimmen Sie gegebenenfalls deren Koordinaten!

2. Alle Extrempunkte liegen auf dem Graphen einer Funktion h. Geben Sie eine Funktionsgleichung von h an!

3. Skizzieren Sie den Graphen der Funktion $f_2\,$ für $1,6 \le x \le 7$!

zu Teilaufgabe a)

Teilaufgabe b)

1. Geben Sie aufgrund Ihrer Ergebnisse aus Teilaufgabe a) zwei Eigenschaften des Graphen einer Stammfunktion von $f_a\,$ an!

2. Bestimmen Sie durch partielle Integration eine Gleichung einer Stammfunktion von $f_a\,$!

3. Die x-Achse und der Graph der Funktion $f_2\,$ begrenzen im I. Quadranten eine nach rechts ins Unendliche reichende Fläche. Berechnen sie deren Inhalt!

Hinweis: $\lim_{x\to\infty}x\cdot e^{-x} = 0$

zu Teilaufgabe b)

Teilaufgabe c)

Im Punkt $W_a\,(a+2; f_a(a+2))$ werde die Tangente an den Graphen von $f_a\,$ gelegt

1. Für welchen Wert von a schneidet diese Tangente die y-Achse im Punkt $A(0;2012)\,$?

Nun sei $a = 2\,$.

2. Berechnen Sie alle Stellen $x_B\,$, für die die Tangente die y-Achse im Punkt $B\,(x_B;f_2(x_B))$ an den Graphen von $f_2\,$ durch den Koordinatenursprung verläuft!

zu Teilaufgabe c)

Teilaufgabe d)

Für jeden Wert von a bilden die Punkte $R_a \, (a / f_a(a))$, $H_a\, (a+1 / f_a(a+1))$ und $W_a\, (a+2 / f_a(a+2))$ ein Dreieck.

1. Zeigen Sie, dass alle diese Dreiecke zueinander kongruent sind!

2. Berechnen Sie deren Flächeninhalt!

zu Teilaufgabe d)

Teilaufgabe e)

Beweisen Sie, dass für die n-te Ableitung ($n\ge 1$) der Funktion $f_a\,$ gilt:

$y=f_a(x)=(-1)^{n+1}\cdot(n-x+a)\cdot e^{a+2-x}$

zu Teilaufgabe e)

--Andre Etzel 22:42, 20. Jan. 2010 (UTC)