Lösungen zum Übungsblatt zum Kathetensatz (Aufgaben 1-5): Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 25. Januar 2009, 20:33 Uhr

Arbeitsauftrag:

Hole dir das Übungsblatt zum Kathetensatz
Bearbeite die Aufgaben 1-5 und vergleiche deine Lösungen mit denen auf der Seite

Aufgabe 1

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Da ${n\,}$ an ${d\,}$ anliegt, muss ${m\,}$ an ${f\,}$ anliegen

${e=m+n\,}$
${n=e-m=7cm-2cm=5cm\,}$

$d^2=n \cdot e$
$d=\sqrt{n \cdot e}=\sqrt{5cm \cdot 7cm}=\sqrt{35}cm$

$f^2=m \cdot e$
$f=\sqrt{m \cdot e}=\sqrt{2cm \cdot 7cm}=\sqrt{14}cm$

Aufgabe 2

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

$v^2=w \cdot p$
$v=\sqrt{w \cdot q}=\sqrt{9cm \cdot 5cm}=\sqrt{45}cm$

${w=p+q\,}$
${p=w-q=9cm-5cm=4cm\,}$

$u^2=w \cdot p$
$u=\sqrt{w \cdot p}=\sqrt{4cm \cdot 9cm}=\sqrt{36}cm=6cm$

Aufgabe 3

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

$h_d^2=p \cdot q$
$q=\frac{h_d^2}{p}=\frac{(2,4cm)^2}{3,2cm}=1,8cm$

${d=p+q=3,2cm+1,8cm=5cm\,}$

${c^2=h_d^2+q^2\,}$ (Man berechnet c über den Satz des Pythagoras im kleinen rechtwinkligen Dreieck)
$c=\sqrt{h_d^2+q^2}=\sqrt{(2,4cm)^2+(1,8cm)^2}=3cm$

ODER:

$c^2=d \cdot q$ (Man berechnet c über den Kathetensatz im ganzen rechtwinkligen Dreieck)
$c=\sqrt{d \cdot q}=\sqrt{5cm \cdot 1,8cm}=3cm$

${b^2=h_d^2+p^2\,}$ (Man berechnet b über den Satz des Pythagoras im kleinen rechtwinkligen Dreieck)
$b=\sqrt{h_d^2+p^2}=\sqrt{(2,4cm)^2+(3,2cm)^2}=4cm$

ODER:

$b^2=d \cdot p$ (Man berechnet c über den Kathetensatz im ganzen rechtwinkligen Dreieck)
$b=\sqrt{d \cdot p}=\sqrt{5cm \cdot 3,2cm}=4cm$

Aufgabe 4

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

$k=\sqrt{A_k}=6cm$
$l=\sqrt{A_l}=3cm$

${m^2=k^2+l^2\,}$
$m=\sqrt{k^2+l^2}=\sqrt{(6cm)^2+(3cm)^2}=\sqrt{45}cm$

Wähle Hypotenusenabschnitte ${p\,}$ und ${q\,}$ , wobei ${p\,}$ an ${l\,}$ anliegt

$l^2=m \cdot p$
$p=\frac{l^2}{m}=\frac{(6cm)^2}{\sqrt{45}cm} \approx 5,37cm$

$k^2=m \cdot q$
$q=\frac{k^2}{m}=\frac{(3cm)^2}{\sqrt{45}cm} \approx 1,34cm$

$h_m^2=p \cdot q$
$h_m=\sqrt{p \cdot q}=\sqrt{5,37cm \cdot 1,34cm}=7,2cm$

Aufgabe 5

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Dreieck ist rechtwinklig, da $180^\circ-\beta-\gamma=90^\circ$
${a\,}$ ist Hypotenuse, da ${\gamma\,}$ bei ${C\,}$ liegt und ${\beta\,}$ bei ${B\,}$ , d.h. dem Winkel ${\alpha\,}$ liegt die längste Seite, also ${a\,}$ gegenüber (nicht gegeben, jedoch in der Mathematik normalerweise so gewählt)

${a^2=b^2+c^2\,}$
${c^2=a^2-b^2\,}$
$c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{(9cm)^2-(4cm)^2}=\sqrt{65}cm$

Einen der beiden Hypotenusenabschnitte über den Kathetensatz berechnen:
Wähle Hypotenusenabschnitte ${p\,}$ anliegend an ${b\,}$ und ${q\,}$ anliegend an ${c\,}$
$b^2=a \cdot p$
$p=\frac{b^2}{a}=\frac{(4cm)^2}{9cm}=\frac{16}{9}cm$
${a=p+q\,}$
$q=a-p=9cm-\frac{16}{9}cm=\frac{65}{9}cm$

$h_a^2=p \cdot q$
$h_a=\sqrt{p \cdot q}$
$h_a=\sqrt{\frac{16}{9}cm \cdot \frac{65}{9}cm} \approx 3,58cm$

Wenn du fertig bist geht es hier zu einer Anwendung des Kathetensatzes

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-Verweis auf ein Übungsblatt und Lösungen werden noch eingefügt<br /><br />
+__NOTOC__
+<div style="margin:0px; margin-right:90px; border:thick double green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white;  width:90%; align:center; ">
+<span style="color: green">'''Arbeitsauftrag:'''</span>
+*Hole dir das '''Übungsblatt zum Kathetensatz'''
+*Bearbeite die Aufgaben 1-5 und vergleiche deine Lösungen mit denen auf der Seite
+</div><br />
-Wenn du fertig bist geht es [[Umwandlung 1|hier]] zu einer Anwendung des Kathetensatzes
+== Aufgabe 1==
+{{Lösung versteckt|
+*Da <math>{n\,}</math> an <math>{d\,}</math> anliegt, muss <math>{m\,}</math> an <math>{f\,}</math> anliegen<br />
+*<math>{e=m+n\,}</math>
+*<math>{n=e-m=7cm-2cm=5cm\,}</math><br />
+*<math>d^2=n \cdot e</math>
+*<math>d=\sqrt{n \cdot e}=\sqrt{5cm \cdot 7cm}=\sqrt{35}cm</math><br />
+*<math>f^2=m \cdot e</math>
+*<math>f=\sqrt{m \cdot e}=\sqrt{2cm \cdot 7cm}=\sqrt{14}cm</math>
+}}
+== Aufgabe 2==
+{{Lösung versteckt|
+*<math>v^2=w \cdot p</math>
+*<math>v=\sqrt{w \cdot q}=\sqrt{9cm \cdot 5cm}=\sqrt{45}cm</math><br /><br />
+*<math>{w=p+q\,}</math>
+*<math>{p=w-q=9cm-5cm=4cm\,}</math><br /><br />
+*<math>u^2=w \cdot p</math>
+*<math>u=\sqrt{w \cdot p}=\sqrt{4cm \cdot 9cm}=\sqrt{36}cm=6cm</math>
+}}
+== Aufgabe 3==
+{{Lösung versteckt|
+*<math>h_d^2=p \cdot q</math>
+*<math>q=\frac{h_d^2}{p}=\frac{(2,4cm)^2}{3,2cm}=1,8cm</math><br /><br />
+*<math>{d=p+q=3,2cm+1,8cm=5cm\,}</math><br /><br />
+*<math>{c^2=h_d^2+q^2\,}</math> (Man berechnet c über den Satz des Pythagoras im kleinen rechtwinkligen Dreieck)
+*<math>c=\sqrt{h_d^2+q^2}=\sqrt{(2,4cm)^2+(1,8cm)^2}=3cm</math><br />
+'''ODER:'''<br />
+*<math>c^2=d \cdot q</math> (Man berechnet c über den Kathetensatz im ganzen rechtwinkligen Dreieck)
+*<math>c=\sqrt{d \cdot q}=\sqrt{5cm \cdot 1,8cm}=3cm</math><br /><br />
+*<math>{b^2=h_d^2+p^2\,}</math> (Man berechnet b über den Satz des Pythagoras im kleinen rechtwinkligen Dreieck)
+*<math>b=\sqrt{h_d^2+p^2}=\sqrt{(2,4cm)^2+(3,2cm)^2}=4cm</math><br />
+'''ODER:'''<br />
+*<math>b^2=d \cdot p</math> (Man berechnet c über den Kathetensatz im ganzen rechtwinkligen Dreieck)
+*<math>b=\sqrt{d \cdot p}=\sqrt{5cm \cdot 3,2cm}=4cm</math><br /><br />
+}}
+== Aufgabe 4==
+{{Lösung versteckt|
+*<math>k=\sqrt{A_k}=6cm</math>
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+*Wähle Hypotenusenabschnitte <math>{p\,}</math> und <math>{q\,}</math>, wobei <math>{p\,}</math> an <math>{l\,}</math> anliegt<br />
+*<math>l^2=m \cdot p</math>
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+*<math>k^2=m \cdot q</math>
+*<math>q=\frac{k^2}{m}=\frac{(3cm)^2}{\sqrt{45}cm} \approx 1,34cm</math><br /><br />
+*<math>h_m^2=p \cdot q</math>
+*<math>h_m=\sqrt{p \cdot q}=\sqrt{5,37cm \cdot 1,34cm}=7,2cm</math>
+}}
+== Aufgabe 5==
+{{Lösung versteckt|
+*Dreieck ist rechtwinklig, da <math>180^\circ-\beta-\gamma=90^\circ</math>
+*<math>{a\,}</math> ist Hypotenuse, da <math>{\gamma\,}</math> bei <math>{C\,}</math> liegt und <math>{\beta\,}</math> bei <math>{B\,}</math>, d.h. dem Winkel <math>{\alpha\,}</math> liegt die längste Seite, also <math>{a\,}</math> gegenüber (nicht gegeben, jedoch in der Mathematik normalerweise so gewählt)<br /><br />
+*<math>{a^2=b^2+c^2\,}</math>
+*<math>{c^2=a^2-b^2\,}</math>
+*<math>c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{(9cm)^2-(4cm)^2}=\sqrt{65}cm</math><br /><br />
+*Einen der beiden Hypotenusenabschnitte über den Kathetensatz berechnen:
+*Wähle Hypotenusenabschnitte <math>{p\,}</math> anliegend an <math>{b\,}</math> und <math>{q\,}</math> anliegend an <math>{c\,}</math>
+*<math>b^2=a \cdot p</math>
+*<math>p=\frac{b^2}{a}=\frac{(4cm)^2}{9cm}=\frac{16}{9}cm</math><br /><br />
+*<math>{a=p+q\,}</math>
+*<math>q=a-p=9cm-\frac{16}{9}cm=\frac{65}{9}cm</math><br /><br />
+*<math>h_a^2=p \cdot q</math>
+*<math>h_a=\sqrt{p \cdot q}</math>
+*<math>h_a=\sqrt{\frac{16}{9}cm \cdot \frac{65}{9}cm} \approx 3,58cm</math>
+}}
+Wenn du fertig bist geht es [[Lernpfad zur Satzgruppe des Pythagoras/Umwandlung Rechteck in Quadrat (K) - Seite 1|hier]] zu einer Anwendung des Kathetensatzes

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