Lösungen zum Übungsblatt zum Kathetensatz (Aufgaben 1-5)

Arbeitsauftrag:

• Hole dir das Übungsblatt zum Kathetensatz
• Bearbeite die Aufgaben 1-5 und vergleiche deine Lösungen mit denen auf der Seite

Aufgabe 1

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• Da ${n\,}$ an ${d\,}$ anliegt, muss ${m\,}$ an ${f\,}$ anliegen
  

• ${e=m+n\,}$
• ${n=e-m=7cm-2cm=5cm\,}$
  

• $d^2=n \cdot e$
• $d=\sqrt{n \cdot e}=\sqrt{5cm \cdot 7cm}=\sqrt{35}cm$
  

• $f^2=m \cdot e$
• $f=\sqrt{m \cdot e}=\sqrt{2cm \cdot 7cm}=\sqrt{14}cm$

Aufgabe 2

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• $v^2=w \cdot p$
• $v=\sqrt{w \cdot q}=\sqrt{9cm \cdot 5cm}=\sqrt{45}cm$
  
  

• ${w=p+q\,}$
• ${p=w-q=9cm-5cm=4cm\,}$
  
  

• $u^2=w \cdot p$
• $u=\sqrt{w \cdot p}=\sqrt{4cm \cdot 9cm}=\sqrt{36}cm=6cm$

Aufgabe 3

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• $h_d^2=p \cdot q$
• $q=\frac{h_d^2}{p}=\frac{(2,4cm)^2}{3,2cm}=1,8cm$
  
  

• ${d=p+q=3,2cm+1,8cm=5cm\,}$
  
  

• ${c^2=h_d^2+q^2\,}$ (Man berechnet c über den Satz des Pythagoras im kleinen rechtwinkligen Dreieck)
• $c=\sqrt{h_d^2+q^2}=\sqrt{(2,4cm)^2+(1,8cm)^2}=3cm$
  

ODER:

• $c^2=d \cdot q$ (Man berechnet c über den Kathetensatz im ganzen rechtwinkligen Dreieck)
• $c=\sqrt{d \cdot q}=\sqrt{5cm \cdot 1,8cm}=3cm$
  
  

• ${b^2=h_d^2+p^2\,}$ (Man berechnet b über den Satz des Pythagoras im kleinen rechtwinkligen Dreieck)
• $b=\sqrt{h_d^2+p^2}=\sqrt{(2,4cm)^2+(3,2cm)^2}=4cm$
  

ODER:

• $b^2=d \cdot p$ (Man berechnet c über den Kathetensatz im ganzen rechtwinkligen Dreieck)
• $b=\sqrt{d \cdot p}=\sqrt{5cm \cdot 3,2cm}=4cm$
  
  

Aufgabe 4

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• $k=\sqrt{A_k}=6cm$
• $l=\sqrt{A_l}=3cm$
  
  

• ${m^2=k^2+l^2\,}$
• $m=\sqrt{k^2+l^2}=\sqrt{(6cm)^2+(3cm)^2}=\sqrt{45}cm$
  
  

• Wähle Hypotenusenabschnitte ${p\,}$ und ${q\,}$, wobei ${p\,}$ an ${l\,}$ anliegt
  

• $l^2=m \cdot p$
• $p=\frac{l^2}{m}=\frac{(6cm)^2}{\sqrt{45}cm} \approx 5,37cm$
  
  

• $k^2=m \cdot q$
• $q=\frac{k^2}{m}=\frac{(3cm)^2}{\sqrt{45}cm} \approx 1,34cm$
  
  

• $h_m^2=p \cdot q$
• $h_m=\sqrt{p \cdot q}=\sqrt{5,37cm \cdot 1,34cm}=7,2cm$

Aufgabe 5

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• Dreieck ist rechtwinklig, da $180^\circ-\beta-\gamma=90^\circ$
• ${a\,}$ ist Hypotenuse, da ${\gamma\,}$ bei ${C\,}$ liegt und ${\beta\,}$ bei ${B\,}$, d.h. dem Winkel ${\alpha\,}$ liegt die längste Seite, also ${a\,}$ gegenüber (nicht gegeben, jedoch in der Mathematik normalerweise so gewählt)
  
  

• ${a^2=b^2+c^2\,}$
• ${c^2=a^2-b^2\,}$
• $c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{(9cm)^2-(4cm)^2}=\sqrt{65}cm$
  
  

• Einen der beiden Hypotenusenabschnitte über den Kathetensatz berechnen:
• Wähle Hypotenusenabschnitte ${p\,}$ anliegend an ${b\,}$ und ${q\,}$ anliegend an ${c\,}$
• $b^2=a \cdot p$
• $p=\frac{b^2}{a}=\frac{(4cm)^2}{9cm}=\frac{16}{9}cm$
  
  
• ${a=p+q\,}$
• $q=a-p=9cm-\frac{16}{9}cm=\frac{65}{9}cm$
  
  

• $h_a^2=p \cdot q$
• $h_a=\sqrt{p \cdot q}$
• $h_a=\sqrt{\frac{16}{9}cm \cdot \frac{65}{9}cm} \approx 3,58cm$

Wenn du fertig bist geht es hier zu einer Anwendung des Kathetensatzes