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| − | ==Angabe==
| + | <center> |
| − | | + | {|width=90%| style="background-color:#F5F5F5; border: 1px solid #63B8FF; padding:0.5em" |
| − | [[Bild:Eilif_Peterssen-_Sevilosen.jpg|250px|right]]
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| − | Mit Hilfe der folgenden Funktion kann man beispielsweise die Wasserstände eines Flusses vorherzusagen. Diese Beschreibung der Durchflussgeschwindigkeit sei durch die Funktionenschar f<sub>a</sub> mit <math>f(t) = \frac{1}{4} t^3 - a t^2 + a^2 t</math>, a > 0
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| − | Die Funktion gibt dabei die Durchflussgeschwindigkeit in 10<sup>6</sup><math>\frac{m^3}{Monat}</math> und t die verstrichene Zeit in Monaten seit Beginn der Vorhersage
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| − | (t = 0) an. Die Funktion berücksichtigt, dass es sich um einen Fluss handelt, der zeitweise austrocknet.
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| − | ===Aufgabe: Nullstellen===
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| − | '''''<span style="color: darkorange">Es soll bestimmt werden, abhängig vom Parameter a, zu welchen Monaten kein Wasser durch den Fluss fließt.</span>'''''
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| − | :Es sind die Zeitpunkte gesucht, an denen der y - Wert ''Kubikmeter in Millionen'' gleich Null ist. An dieser Nullstelle fließt also kein Wasser durch den Fluss.
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| − | :Aus der Animation des Applets kann man erkennen,
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| − | :* dass '''jede Funktion f (t) zwei Nullstellen''' besitzt.
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| − | :* dass die '''erste''' Nullstelle '''immer im Ursprung''' ist. <small> N<sub>1</sub>( 0 / 0 )</small>
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| − | :* dass die '''zweite''' Nullstelle
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| − | ::* von '''a abhängig''' ist, da sie sich, bei Wechsel von a, verändert.''
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| − | ::* eine '''doppelte Nullstelle''' ist, da sie an der Stelle einen Vorzeichenwechsel der Steigung besitzt.
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| − | :<span style="color: darkblue">Errechne rechnerisch die beiden Nullstellen der Funktion. Setze dazu die Funktion gleich Null.</span>
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| − | <popup name="Rechnerische Lösung">
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| − | :Durch Ausklammern von t erhält man zum einen die erste Nullstelle, zum anderen auch eine quadratische Funktion, welche man mit Hilfe der [http://de.wikipedia.org/wiki/Quadratische_Gleichung#L.C3.B6sungsformeln Mitternachtsformel] lösen kann.
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| − | :<math>f(t) = t (\frac{1}{4} t^2 - a t + a^2) \rightarrow t_1 = 0 \Rightarrow N_1\left( 0 / 0 \right) </math>
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| − | :<math>\frac{1}{4} t^2 - a t + a^2 \rightarrow t_2 = 2a \Rightarrow N_2\left( 2a / 0 \right) </math>
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| − | :<u>Der Fluss trocknet zu den Zeitpunkten t = 0 und t = 2a aus, es fließt also kein Wasser durch den Fluss.</u>
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| − | </popup>
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| − | <ggb_applet width="417" height="418" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" />
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| − | ===Aufgabe: Extremwerte===
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| − | '''''<span style="color: darkorange">Es soll, in Abhängigkeit von a, ermittelt werden, zu welchen Zeitpunkten t ein relatives Maximum bzw. Minimum vorliegt. Diese Funktionswerte sollen berechnet werden.</span>
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| − | {|width=90%| style="background-color:#F4F4F4; border: 1px solid #58B9FF; padding:0.1em" | + | |
| | | valign="top" | | | | valign="top" | |
| | + | ''Bearbeitet wird eine Abituraufgabe von 2007 aus Nordrhein - Westfalen. Zu der Aufgabe sind auf der nächsten Seite einige Aufgaben gestellt, welche es zu bearbeiten gilt. Die interaktive Bearbeitung der Aufgabe ist so aufgebaut, dass zu Beginn nochmals erläutert wird was genau errechnet werden soll und wie die jeweilige Aufgabe zu berechnen ist. |
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| + | Des Weiteren findest du neben den Aufgaben viele Veranschaulichungen durch Graphen in GeogebraApplets, von denen du manche auch durch einen Schieberegler verändern kannst. Dies ist vor allem für diejenigen nützlich, die sich die Lösungswege schwerer erschließen können und dadurch eine kleine Hilfestellung bekommen. |
| − | |width=400px|
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| − | ''Maxima und Minima sind Punkte auf einer Funktion, die in ihrem im Umkreis die höchsten beziehungsweise tiefsten Punkte auf dem Graphen sind. Um diese Extremwerte einer Funktion zu errechnen, wird die erste Ableitung benötigt.''
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| − | {|width=90%| style="background-color:#F4F4F4; border: 1px solid #58B9FF; padding:0.1em"
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| − | :Die allgemeine Ableitungsregel ist: '''<math>f (x) = x^n \Rightarrow f'(x) = n * x</math><sup>n-1</sup>'''
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| | + | :Nun wünsche ich dir noch viel Spaß beim Bearbeiten der interaktiven Aufgabe. |
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| − | ::''<span style="color: darkblue">Bestimme nun die erste Ableitung der Funktion f. | + | :Und hier gehts auch schon zur [[Facharbeitsaufgabe|Wasserstandsaufgabe]]! |
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| − | ::<popup name="Ableitung f '(t)">
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| − | ::<math>f'(t) = \frac{3}{4} t^2 - 2 a t + a^2</math>
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| − | ::</popup>
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| − | :<u>Zur Bestimmung der Koordinaten der Extremwerte:</u>
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| − | :* Man setzt f '(t) = 0,
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| − | :* erhält eine quadratische Gleichung,
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| − | :* löst diese mit der Mitternachtsformel,
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| − | :* und setzt die erhaltenen t - Werte in die Funktion ein und erhält somit die y - Koordinaten der Extremwerte E<sub>1</sub> und E<sub>2</sub>.
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| − | ::''<span style="color: darkblue">Errechne nun die Koordinaten der Extremwerte.</span>
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| − | ::{{Lösung versteckt|1=
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| − | ::<math> t_1 = 2 a \Rightarrow E_1\left( 2a / 0 \right)</math>
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| − | ::<math> t_2 = \frac{2}{3}a \Rightarrow E_2 \left( \frac{2}{3}a / \frac{8}{27}a^3 \right)</math>
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| − | }}
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| − | |valign="top" |
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| − | :Jeder Graph G<sub>a</sub> besitzt '''zwei Extremwerte'''. In der Funktion f<sub>3</sub> sind es die unten eingezeichneten Punkte. Man sieht deutlich, dass '''an der Stelle, an der die Ableitung '''(blaue Funktion)''' gleich Null wird, die Extremwerte liegen'''.
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| − | :<ggb_applet width="319" height="411" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" />
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| | |} | | |} |
| | + | </center> |
| | + | <big>'''Aufgabenstellung:'''<ref>[http://www.standardsicherung.nrw.de/abitur-gost/getfile.php?file=910 Angabe als pdf Datei]</ref> |
| | + | </big> |
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| + | [[Bild:Eilif_Peterssen-_Sevilosen.jpg|250px|right]] |
| − | <br />
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| − | {|width=90%| style="background-color:#F4F4F4; border: 1px solid #58B9FF; padding:0.1em"
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| − | | valign="top" |
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| − | '''Man hat nun die Extremwerte in Abhängigkeit von a ermittelt. Um nun zu prüfen ob es sich bei den Extrema um Maxima oder Minima handelt, kann man hier anhand verschiedener Lösungen vorgehen.'''
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| − | :<u>'''Lösung 1:''' ''Krümmungsverhalten an den Extremwerten''</u>
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| − | :* Man bestimmt die zweite Ableitung,
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| − | :* setzt die t - Werte der Extremwerte ein
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| − | :* und überprüft, ob f ' ' (t - Koordinate Extremwert)
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| − | ::* <nowiki> < </nowiki> 0 <math>\rightarrow</math> Rechtskrümmung bzw Rechtskurve
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| − | ::<math>\Rightarrow</math> relatives Maximum
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| − | ::* <nowiki> > </nowiki> 0 <math>\rightarrow</math> Linkskrümmung bzw Linkskurve
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| − | ::<math>\Rightarrow</math> relatives Minimum
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| − | ::Wäre die zweite Ableitung ''gleich Null'', handelt es sich bei dem Extremwert um einen ''Terassenpunkt'', dass heißt, dass die Steigung der Funktion ''keinen Vorzeichenwechsel an dieser Stelle'' hat.
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| − | ::''<span style="color: darkblue">Gib mit dieser Lösungsmöglichkeit die Art der Extremwerte an.</span>
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| − | ::{{Lösung versteckt|1=
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| − | ::<math>f ''(t) = \frac{3}{2} t - 2a</math>
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| − | ::<math>f ''(2a) = \frac{3}{2} * 2a - 2a = a</math>
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| − | ::da a > 0 <math>\rightarrow</math> Rechtskrümmung <math> \Rightarrow E_1\left( 2a / 0 \right)</math> '''ist Minimum
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| − | ::<math>f ''(\frac{2}{3}a ) = \frac{3}{2} * \frac{2}{3}a - 2a = - a</math>
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| − | ::<small>da a größer als Null definiert ist, gilt</small> <math>\rightarrow</math> - (a) < 0 <math>\rightarrow</math> Linkskrümmung
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| − | ::<math> \Rightarrow E_2\left( \frac{2}{3}a / \frac{8}{27}a^3 \right)</math> '''ist Maximum
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| − | :<u>'''Lösung 2:''' ''h - Methode''</u>
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| − | :''Mit Hilfe der h - Methode untersucht man, wie sich der Graph "ein Stückchen links und ein Stückchen rechts" vom Extremwert verhält.''
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| − | :Dazu nimmt man die erste Ableitung,
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| − | :* setzt <math> \lim_{h\to0} f '(t_0 - h)</math>
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| − | :* und <math> \lim_{h\to0} f '( t_0 + h)</math> ein.
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| − | :Dadurch erhält man das Verhalten der Steigung von G<sub>f</sub> "ein Stückchen links und ein Stückchen rechts" vom Extremwert.
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| − | ::<span style="color: darkblue">Versuche auch, mit Hilfe der h - Methode, die Art der Extrempunkte zu bestimmen.</span>
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| − | ::{{Lösung versteckt|1=
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| − | ::<math>\lim_{h\to0} f '(2a - h)< 0</math> und <math>\lim_{h\to0} f '(2a + h)> 0 </math>
| + | |
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| − | ::<math>\lim_{h\to0} f '(\frac{2}{3}a - h)> 0</math> und <math>\lim_{h\to0} f '(\frac{2}{3}a + h)< 0</math>
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| − | ::Graphische Vorzustellung:
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| − | ::<math> \Rightarrow E_1\left( 2a / 0 \right)</math> '''ist Minimum,
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| − | ::* da links von t = 2a der Graph fällt.
| + | |
| − | ::* da rechts von t = 2a der Graph steigt.
| + | |
| − | ::<math> \Rightarrow E_2\left( \frac{2}{3}a / \frac{8}{27}a^3 \right)</math> '''ist Maximum
| + | |
| − | ::* da links von t = <math>\frac{2}{3}a</math> der Graph steigt.
| + | |
| − | ::* da rechts von t = <math>\frac{2}{3}a</math> der Graph fällt.
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| − | :<u>'''Lösung 3:''' ''Vorzeichentabelle''</u>
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| − | :Man schreibt die Ableitung nicht als Summen, sondern als Produkte. Dies ist möglich, da man bereits die Nullstellen der Ableitungsfunktion errechnet hat. Die Ableitungsfunktion kann dann auch als
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| − | ::<math>f '(t)= \left( x - t_1 \right) * \left( x - t_2 \right)</math>,
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| − | :geschrieben werden. Hier sind die Werte t<sub>1</sub> und t<sub>2</sub> die t - Werte der Extrempunkte.
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| − | :Nun stellt man eine Vorzeichentabelle für jeden Faktor auf und erhält durch multiplizieren der Vorzeichen das Monotonieverhalten und dadurch die Arten der Extremwerte.
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| − | ::<span style="color: darkblue">Erstelle mit Hilfe des umgeformten Ableitungsproduktes eine Vorzeichentabelle und vergleiche sie mit dem rechts gezeigten Monotonieverhalten.</span>
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| − | ::{{Lösung versteckt|1=
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| − | ::<math>\Rightarrow f '(t) = \left( x - 2a \right) * \left( x - \frac{2}{3}a \right) </math>
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| − | ::
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| − | [[Bild:Vorzeichentabelle1.jpg|400px]] | + | |
| − | ::<u><span style="color: red">'''Merke:'''</span></u> Durch das Aufstellen einer Vorzeichentabelle erhält man das Monotonieverhalten des Graphen und kann sich somit die Art der Extremwerte erschließen.
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| − | |width=5px|
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| − | |valign="top" |
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| − | <ggb_applet width="344" height="337" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" />
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| − | :Monotonieverhalten des Graphen G<sub>f</sub>
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| − | ===Aufgabe: Wendepunkt===
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| − | '''''<span style="color: darkorange">Es soll, in Abhängigkeit von a bestimmt werden, wann die Druchflussgeschwindigkeit besonders stark absinkt. Dieser Wert soll zum Zeitpunkt t berechnet werden.</span>
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| − | Hier ist der Punkt gesucht, '''an dem die Durchflussgeschwindigkeit am stärksten absinkt.''' Dazu schaut man sich die erste Ableitung näher an, da diese die Steigung eines Graphen G<sub>f</sub> zeigt.
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| − | <popup name="Ableitungsfunktion">
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| − | Da es sich bei der ersten Ableitung um eine nach oben geöffnete Parabel handelt, ist das Minimum des Graphen gleichzeitig der Punkt, an dem die Steigung besonders stark abfällt.
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| − | <ggb_applet width="800" height="600" filename="Wendepunktaufgabe.ggb" showResetIcon="true" />
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| − | </popup>
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| − | :Es ist also das Minimum der ersten Ableitung gesucht. Dazu setzt man die Ableitung von f '(t) gleich Null. Die Ableitung der Ableitung ist gleich der zweiten Ableitung der Funktion f (t). An dem erhaltenem Punkt besitzt der Graph G<sub>f</sub> den größten negativen Steigungswert. Dieser Punkt heißt Wendepunkt. An ihm ändert der Graph sein Krümmungsverhalten.
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| − | ::<span style="color: darkblue">Errechne die Koordinaten des Wendepunktes.</span>
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| − | ::{{Lösung versteckt|1=
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| − | ::<math>\Rightarrow f ''(t)= 0 \rightarrow \frac{3}{2} t - 2a = 0 \Rightarrow t = \frac{4}{3}a</math>
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| − | ::<math>f ( \frac{4}{3}a ) = \frac{4}{27}a^3 \Rightarrow WP \left( \frac{4}{3}a / \frac{4}{27}a^3 \right)</math>
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| − | ::<u>Der Punkt, an welchem die Funktion besonders stark abfällt ist zugleich der Wendepunkt</u> <math>WP \left( \frac{4}{3}a / \frac{4}{27}a^3 \right)</math>
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| − | ::'''<u><span style="color: red">Merke:</span></u>''' Es handelt sich nur um einen Wendepunkt, wenn folgende Kriterien erfüllt sind.
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| − | ::<math>\Rightarrow f''(t_0) = 0</math>
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| − | ::<math>\Rightarrow f'''(t_0) \neq 0</math>
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| − | }}
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| − | ===Aufgabe: Theoretische Überlegungen zur Funktion===
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| − | '''''<span style="color: darkorange">Warum liegt kein Punkt der Funktionsgraphen von f<sub>a</sub> im Bereich <math>t \ge 0</math> unterhalb der t - Achse und inwiefern ist dies mit dem zugrunde liegenden Sachverhalt vereinbar.</span>'''''
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| − | ::''<span style="color: darkblue">Begründe dies.</span>''
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| − | ::{{Lösung versteckt|1=
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| − | ::Es liegt kein Punkt im Intervall <math>t \ge 0</math> unterhalb der t - Achse, da es hier um '''eine Funktion mit realem Bezug''' geht. Läge ein Punkt bei der gegebenen Aufgabenstellung im vierten Quadranten, würde dies bedeuten, dass '''eine negative Durchflussgeschwindigkeit vorliegt'''. Dies ist nicht möglich, da sonst ein negatives Volumen an Wasser im Fluss vorhanden wäre. Deshalb ist kein Punkt der Funktionsgraphen f<sub>a</sub> im vierten Quadranten definiert.
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| − | }}
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| − | :Um das Verhalten eines Graphen, welcher gegen <math>+ \infty</math> geht, zu bestimmen, wird statt f (t) <math>\lim_{t\to\infty} f (t)</math> geschrieben. Um nun bei einer Potenzfunktion den Grenzwert zu ermitteln, klammert man die höchste Potenz aus, erhält ein Produkt und kann somit leichter, als bei einer Summe, den Grenzwert bestimmen.
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| − | ::''<span style="color: darkblue">Bestimme das Verhalten von f<sub>a</sub> für <math>t \rightarrow \infty</math> angegeben werden.</span>''
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| − | ::{{Lösung versteckt|1=
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| − | ::<math>\lim_{t\to\infty} f (t) = \lim_{t\to\infty} \frac{1}{4} t^3 - a t^2 + a^2</math>
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| − | ::<math>\lim_{t\to\infty} t^3 \left( \frac{1}{4} - \frac{a}{t} + \frac{a^2}{t^2} \right)</math>
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| − | ::<math>\lim_{t\to\infty} \infty * \frac{1}{4} = \infty</math>
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| − | ::<u>Für</u><math> t\to\infty</math><u>geht die Funktion gegen</u> + <math> \infty</math>
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| − | :Des Weiteren soll begründet werden, ob die Funktionen auch nach den ersten 8 Monate noch eine sinnvolle Beschreibung der Durchflussgeschwindigkeit liefern, aufgrund des berechneten Grenzwertes in der vorherigen Aufgabe.
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| − | ::{{Lösung versteckt|1=
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| − | ::Nach den ersten 8 Monaten verhält sich die Funktion so, dass sie '''immer stärker ansteigt'''. Dies ist an der Parabel, welche die Steigung anzeigt, erkennbar. Da die Funktion f<sub>a</sub> (t) vorhersagen soll, wieviel Wasser sich zu einem Zeitpunkt t im Wasser befindet. Wenn man nun, anhand der Funktion vorhersagen soll, wieviel Wasser in zwei Jahren ( also 24 Monaten ) '''ergibt sich ein Wasserstandswert, der mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit nicht erreicht werden wird'''.
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| − | ::Nehmen wir nun mal das Beispiel t = 24 und a = 3.
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| − | ::<math>\frac{1}{4}*24^3 - 24^2*3 + 24*3^2= 1944</math>
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| − | ::Da das Ergebnis in Millionenkubikmeter pro Monat angegeben ist, wäre dann der Wert <math>1,944*10^9 \frac{m^3}{Monat}</math>. Dieser Wasserstandswert wäre eine ziemlich grobe Abweichung vom Realwert. '''Aus diesem Grund handelt es sich bei der Funktion eher um eine Sinusähnliche Funktion''', als um eine, die gen Unendlich exponential ansteigt. Dies würde heißen, '''dass das zweite Austrocknen auf der t - Achse verschoben wird, wieder als t = 0 definiert werden würde, und die Funktion f<sub>a</sub> (t) wieder von vorne starten würde'''.
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| − | ===Aufgabe: Flächenberechnung einer Funktion===
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| − | '''''<span style="color: darkorange">Ermittle für a = 3, wie viel Liter Wasser in den ersten sechs Monaten durch den Fluss fließen.</span>
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| − | :Um Auszurechnen, wieviel Kubikliter Wasser durch den Fluss fließen, errechnet man '''die Fläche unter der Funktion'''. Einfache, bereits bekannte Flächenberechnungen gibt es bei linearen Funktionen. Um hier die Fläche auszurechnen, die der Graph mit der x - Achse einschließt, nimmt man einfach die gebräuchlichen Flächenformeln, wie die Rechtecksformel oder die Dreiecksformel.
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| − | :Hier siehst du ein Beispiel dazu.
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| − | <popup name="Beispiel">
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| − | [[Bild:Integral.jpg|right]]
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| − | :'''1.''' Hier lässt sich die Fläche unter dem Graphen leicht ausrechnen. Man summiert die <span style="color: red">Quadratfläche</span> und die <span style="color: green">Dreiecksfläche</span> und erhält somit die komplette Fläche unter dem Graphen.
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| − | :<span style="color: red">Quadratfläche</span>:<math>4^2 = 16</math>
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| − | :<span style="color: green">Dreieckfläche</span>:<math>\frac{1}{2} * 4 * 2 = 4</math>
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| − | :<math>\Rightarrow 16 + 4 = 20</math>
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| − | :<u>Die markierte Fläche unter dem Graphen hat einen Flächeinhalt von 20.</u>
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| − | :'''2.''' Es lässt sich aber auch durch Integration lösen. Dazu wandelt man eine Funktion f (t) in F (t) anhand der Integrationsformel um .
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| − | :(<small> siehe unten</small>) Integriert wird die Funktion von 0 bis 4.
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| − | :<math>\Rightarrow \int_{0}^{4} f (x)\,dx = \int_{0}^{4} \frac{1}{2}x + 4 \,dx = \left[ \frac{x^2}{4} + 4x \right]_{0}^{4} </math>
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| − | :Nun setzt man für x die obere Grenze ein, und zieht davon die untere Grenze ab, die auch für x eingesetzt wird.
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| − | :<math>\Rightarrow \left[ \frac{4^2}{4} + 4*4 \right] - \left[ \frac{0^2}{4} + 4*0 \right]</math>
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| − | :<math>\rightarrow 20 - 0 = 20</math>
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| − | :<u>Durch Integration erhält man das selbe Ergebnis, wie mit der Flächenberechnung.</u>
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| − | </popup>
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| − | :Bei Funktionen mit höcheren Potenzen benötigt man die Hilfe der '''Integralrechnung'''.
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| − | :'''Es muss gelten: F' (t) = f (t)'''
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| − | {|width=90%| style="background-color:#F5F5F5; border: 1px solid #63B8FF; padding:0.5em"
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| − | | valign="top" |
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| − | :Die allgemeine Integrationsregel: <math>\int_{a}^{b} x^n \,dx = \left[ \frac{x^{n+1}}{n+1} \right]_{a}^{b}</math>
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| − | :a ist die untere Grenze, b die obere. Die Funktion wird im Intervall [ a; b ] integriert.
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| − | ::<span style="color: darkblue">Gebe die Funktion F (t) an und errechne mit ihr für a = 3, wieviel Liter in den ersten sechs Monaten durch den Fluss geflossen sind.</span>
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| − | ::{{Lösung versteckt|1=
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| − | ::<math>\int_{x}^{y} f (t)\,dt = \frac{1}{16}t^4 - \frac{a*t^3}{3} + \frac{a^2*t^2}{2} + c</math>
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| − | ::Die obere Grenze ist: 6 <small> ''Nach den ersten sechs Monaten''</smalL>
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| − | ::Die untere Grenze ist: 0
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| − | ::<math>\int_{0}^{6} f (t)\,dt = </math> <math>\left[ \frac{1}{16}t^4 - \frac{3*t^3}{3} + \frac{3^2*t^2}{2}\right ]_{0}^{6} = 27 - 0 = 27</math>
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| − | | + | |
| − | ::<u>Für a = 3 fließen in den ersten sechs Monaten 27*10<sup>9</sup> Liter Wasser durch den Fluss.</u> (<small> 27*10<sup>6</sup> m<sup>3</sup> = 27*10<sup>9</sup> Liter</small>)
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| − | ::<u>'''<span style="color: red">Merke:</span>'''</u> Die Funktion muss im Intervall stetig und differenzierbar sein ! Ist dies nicht erfüllt, ist eine Integration nicht möglich.
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| − | ===Aufgabe: Flächengleichheit zweier Funktionen===
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| − | '''''<span style="color: darkorange">Betrachte nun zwei unterschiedliche Funktionen f<sub>a1</sub> und f<sub>a2</sub>. Es soll der Zeitpunkt bestimmt werden, zu dem für beide Funktionsannahmen (seit t = 0) genau gleich viel Wasser durch den Fluss geflossen wäre.'''''</span>
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| − | |width=400px|
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| − | :<u>Entwicklung einer Idee:</u>
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| − | :Die Aufgabe kann man sich so vorzustellen,
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| − | :* dass für '''zwei verschiedene a''',
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| − | :* bis zu einer '''bestimmten Grenze''', <small>hier die gesuchte obere Grenze</small>
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| − | :* die '''Flächen unter dem Graphen''' der jeweiligen Funktion, '''gleich groß''' sind.
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| − | :''Schön ist im Applet zu sehen, dass die blaue Fläche immer genauso groß ist, wie die rote Fläche, obwohl die Flächen nicht deckungsgleich sind. Durch Veränderung der Schieberegler fällt auf, dass der Zeitpunkt t<sub>0</sub> sowohl von a, als auch von b, abhängig sein muss.''
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| − | ::<span style="color: darkblue">Nun kann man durch Gleichsetzen zweier unterschiedlicher Funktionen F<sub>a</sub> und F<sub>b</sub> die obere Grenze errechnen.
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| − | |width=5px|
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| − | |valign="top" |
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| − | <ggb_applet width="345" height="329" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" />
| + | |
| − | | + | |
| − | :'''<span style="color: darkblue">c: Flächeninhalt blau</span>,<span style="color: red"> d: Flächeninhalt rot</span>'''
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| − | |}
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| − | ::{{Lösung versteckt|1=
| + | Um die Wasserstände eines Flusses vorherzusagen, kann man versuchen, die Durchflussgeschwindigkeit |
| − | ::Im Weiteren wird eine Funktion mit Parameter a, die andere mit Parameter b bezeichnet. Wobei gilt:
| + | des Wassers an einer bestimmten Stelle des Flusses mit Hilfe geeigneter |
| | + | Funktionen zu beschreiben. |
| | + | Solche näherungsweise Beschreibungen der Durchflussgeschwindigkeiten seien z. B. gegeben |
| | + | durch die Funktionenschar <math>f_a (t) = \frac{1}{4}t^3 - a t^2 + a^2 t</math>, mit a > 0 . |
| | | | |
| − | ::<math>a \neq b</math>
| + | Dabei gibt <math>f_a (t)</math> die Durchflussgeschwindigkeit in <math>10^6 \frac{m^3}{Monat}</math> (Millionen Kubikmeter pro |
| | + | Monat) und t die verstrichene Zeit in Monaten seit Beginn der Vorhersage <math>t = 0</math> an. |
| | + | Die Funktionen <math>f_a</math> berücksichtigen, dass es sich um einen Fluss handelt, der zeitweise |
| | + | austrocknet. |
| | | | |
| − | ::F<sub>a</sub> (t) = F<sub>b</sub> (t)
| |
| | | | |
| − | ::<math>\frac{1}{16}t^4 - \frac{a*t^3}{3} + \frac{a^2*t^2}{2} = \frac{1}{16}t^4 - \frac{b*t^3}{3} + \frac{b^2*t^2}{2}</math>
| |
| | | | |
| − | ::<math>\frac{t^3}{3} \left( b - a \right) + \frac{t^2}{2} \left( a + b\right) \left( a - b \right) = 0</math> | + | :#[[LK Mathematik Abitur NRW 2007/Nullstellen|Berechnung der Zeitpunkte, in denen der Fluss austrocknet]] |
| | + | :#[[LK Mathematik Abitur NRW 2007/Extremwerte|Bestimmung der maximalen und minimalen Volumina]] |
| | + | :#[[LK Mathematik Abitur NRW 2007/Wendepunkt|Bestimmung der größten Senkung der Durchflussgeschwindigkeit]] |
| | + | :#[[LK Mathematik Abitur NRW 2007/Theoretische Überlegungen|Theoretische Fragen zur Wasserstandsaufgabe]] |
| | + | :#[[LK Mathematik Abitur NRW 2007/Integralberechnung|Berechnung des Wasservolumens in den ersten sechs Monaten]] |
| | + | :#[[LK Mathematik Abitur NRW 2007/Flächengleichheit|Volumengleicheit zweier verschiedener Funktionen bis zum Zeitpunkt t<sub>0</sub>]] |
| | | | |
| − | ::<math>\left( b - a \right) * \left( \frac{t^3}{3} - \frac{t^2}{2} \left( a + b \right) \right) = 0</math>
| |
| | | | |
| − | ::<math>\left( b - a \right) \neq 0 \Rightarrow \frac{t^3}{3} - \frac{t^2}{2} \left( a + b \right) = 0</math>
| |
| | | | |
| − | ::<math>2 t^3 = 3 t^2 \left( a + b \right) // * \frac{1}{t^2}</math>
| |
| | | | |
| − | ::<math>\Rightarrow t = \frac{3a+3b}{2} </math>
| |
| | | | |
| − | ::<u>Somit sind zwei Funktionen F<sub>a</sub> und F<sub>b</sub> flächenmäßig gleich groß, wenn für frei wählbares a und b gilt, dass sie bis</u>
| |
| | | | |
| − | ::<math>t_0 = \frac{3a+3b}{2} </math> <u>integriert werden. Bei t<sub>0</sub> handelt es sich um die obere Integrationsgrenze.</u>
| + | <big>'''Internetquellen'''</big> |
| − | }}
| + | :<references/> |
Um die Wasserstände eines Flusses vorherzusagen, kann man versuchen, die Durchflussgeschwindigkeit
des Wassers an einer bestimmten Stelle des Flusses mit Hilfe geeigneter
Funktionen zu beschreiben.
Solche näherungsweise Beschreibungen der Durchflussgeschwindigkeiten seien z. B. gegeben
durch die Funktionenschar 
, mit a > 0 .
die Durchflussgeschwindigkeit in 
(Millionen Kubikmeter pro
Monat) und t die verstrichene Zeit in Monaten seit Beginn der Vorhersage 
an.
Die Funktionen 
berücksichtigen, dass es sich um einen Fluss handelt, der zeitweise
austrocknet.
