2006 IV: Unterschied zwischen den Versionen

Aus RMG-Wiki
Wechseln zu: Navigation, Suche
 
(14 dazwischenliegende Versionen von 3 Benutzern werden nicht angezeigt)
Zeile 9: Zeile 9:
  
  
−
<center>[http://www.isb.bayern.de/isb/download.aspx?DownloadFileID=6765c5a90ce67dce2877992c3f4e2d9f '''Download der Originalaufgaben: Abitur 2008 LK Mathematik Bayern''']  -  [[Media:LKM Abi 2006 I lös.doc|Lösung gesamt]]</center>
+
<center>[http://www.isb.bayern.de/isb/download.aspx?DownloadFileID=ff574c530ac05ed359667c29b75a15ff '''Download der Originalaufgaben: Abitur 2006 LK Mathematik Bayern''']  -  [[Media:Burkard Christian_AbiM06_Lk.pdf|Lösung gesamt]]</center>
  
  
−
<center>Erarbeitet von Gandhi und seinem Kumpane</center>
+
<center>Erarbeitet von Christian Burkard und Julius Schmidt</center>
  
 
</td></tr></table></center>
 
</td></tr></table></center>
Zeile 31: Zeile 31:
 
während die anderen Augenzahlen untereinander gleich wahrscheinlich sind.
 
während die anderen Augenzahlen untereinander gleich wahrscheinlich sind.
 
;Aufgabe 1
 
;Aufgabe 1
−
1. Zeigen Sie, dass der Erwartungswert der Zufallsgröße „Augenzahl beim einmaligen Werfen eines Vegas-Würfels“ 4 ist.  
+
Zeigen Sie, dass der Erwartungswert der Zufallsgröße „Augenzahl beim einmaligen Werfen eines Vegas-Würfels“ 4 ist.  
  
 
:{{Lösung versteckt|
 
:{{Lösung versteckt|
 +
[[Bild:1.jpg]]
 +
}}
  
 +
</td></tr></table></center>
 +
 +
 +
</div>
 +
 +
<div style="padding:1px;background: #EEEEE6;border:0px groove;">
 +
 +
<center><table border="0" width="800px" cellpadding=5 cellspacing=15>
 +
<tr><td  width="800px" valign="top">
 +
 +
;Aufgabe 2
 +
Auf dem Tisch liegen ungeordnet drei Laplace-Würfel und ein Vegas-Würfel. Ein Spieler nimmt davon zufällig drei Würfel und wirft sie gleichzeitig.
 +
Mit welcher Wahrscheinlichkeit erzielt er drei gleiche Augenzahlen, wenn er drei Laplace-Würfel genommen hat? Mit welcher Wahrschein-lichkeit erzielt er drei gleiche Augenzahlen, wenn er zwei Laplace-Würfel und den Vegas-Würfel genommen hat?
 +
Welche Folgerung können Sie aus Ihren Ergebnissen bezüglich der stochastischen Abhängigkeit der Ereignisse „Er erzielt drei gleiche Augenzahlen“ und „Er nimmt drei Laplace-Würfel“ ziehen?
 +
:{{Lösung versteckt|
 +
[[Bild:2.jpg]]
 
}}
 
}}
 +
</td></tr></table></center>
  
  
 +
</div>
  
 +
 +
<div style="padding:1px;background: #EEEEE6;border:0px groove;">
 +
 +
<center><table border="0" width="800px" cellpadding=5 cellspacing=15>
 +
<tr><td  width="800px" valign="top">
 +
 +
;Aufgabe 3
 +
Um bei einem Würfel festzustellen, ob es sich um einen Laplace- oder Vegas-Würfel handelt, wird er 100 mal geworfen. Ein Vegas-Würfel soll mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99 % als solcher eingestuft werden.
 +
;a)
 +
Bestimmen Sie hierzu die Entscheidungsregel anhand der Anzahl der geworfenen Sechser so, dass möglichst auch ein Laplace-Würfel richtig eingestuft wird.
 +
[Ergebnis: Entscheidung für Vegas-Würfel ab 23 geworfenen Sechsern]
 +
:{{Lösung versteckt|
 +
[[Bild:jsucb_3a.jpg]]
 +
}}
 +
;b)
 +
Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird bei dieser Entscheidungsregel ein Laplace-Würfel falsch eingestuft?
 +
:{{Lösung versteckt|
 +
[[Bild:jsucb_3b.jpg]]
 +
}}
 
</td></tr></table></center>
 
</td></tr></table></center>
  
  
 
</div>
 
</div>
 +
  
 
<div style="padding:1px;background: #EEEEE6;border:0px groove;">
 
<div style="padding:1px;background: #EEEEE6;border:0px groove;">
Zeile 48: Zeile 88:
 
<center><table border="0" width="800px" cellpadding=5 cellspacing=15>
 
<center><table border="0" width="800px" cellpadding=5 cellspacing=15>
 
<tr><td  width="800px" valign="top">
 
<tr><td  width="800px" valign="top">
 +
Eine Packung des Spiels enthält – ungeordnet und äußerlich nicht unter-scheidbar – 7 Laplace- und 3 Vegas-Würfel.
 +
;Aufgabe 4
 +
Aus dieser Packung wird ein Würfel entnommen und 100-mal geworfen. Mit welcher Wahrschein¬lichkeit handelt es sich um einen Vegas-Würfel, wenn dabei 25-mal eine „6“ geworfen wird?
 +
:{{Lösung versteckt|
 +
[[Bild:Burkard Christian_483px-4.jpg]]
 +
}}
 +
</td></tr></table></center>
  
−
;Aufgabe 2
 
  
 +
</div>
  
  
 +
<div style="padding:1px;background: #EEEEE6;border:0px groove;">
  
 +
<center><table border="0" width="800px" cellpadding=5 cellspacing=15>
 +
<tr><td  width="800px" valign="top">
  
 +
;Aufgabe 5
 +
Die 10 Würfel werden nun einzeln nacheinander aus der Packung ent-nommen und je 100-mal geworfen.
 +
;a)
 +
Die Zufallsgröße X bezeichne die Anzahl der geworfenen Sechser unter den insgesamt 1000 durchzuführenden Würfen. Berechnen Sie Erwartungs¬wert und Varianz von X.
 +
[Ergebnis: <math>E(X)=216\frac{2}{3}, Var(X) = 163\frac{8}{9}</math>  ]
 +
:{{Lösung versteckt|
 +
[[Bild:5a.jpg]]
 +
}}
  
 +
;b)
 +
Die Zufallsgröße X ist näherungsweise normalverteilt. Berechnen Sie mit Hilfe der Normalverteilung, mit welcher Wahrscheinlichkeit bei den 1000 Würfen mehr als 225-mal eine „6“ geworfen wird.
 +
:{{Lösung versteckt|
 +
[[Bild:5b.jpg]]
 +
}}
 +
</td></tr></table></center>
 +
 +
 +
</div>
 +
 +
 +
<div style="padding:1px;background: #EEEEE6;border:0px groove;">
 +
 +
<center><table border="0" width="800px" cellpadding=5 cellspacing=15>
 +
<tr><td  width="800px" valign="top">
 +
 +
;Aufgabe 6
 +
Bei einem Spiel werden jeweils 5 Würfel geworfen. Aus den Augen-zahlen – aufgefasst als Ziffern – werden möglichst große fünfstellige natürliche Zahlen gebildet, z. B. 43321, nicht jedoch 34312.
 +
;a)
 +
Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man eine Zahl größer als 50000, wenn es sich um 5 Laplace-Würfel handelt?
 +
:{{Lösung versteckt|
 +
[[Bild:6a.jpg]]
 +
}}
 +
;b)
 +
Wie viele verschiedene natürliche Zahlen können nach dieser Spiel-regel gebildet werden? Wählen Sie aus den folgenden kombina-torischen „Modellen“ zunächst das für dieses Problem passende aus und bestimmen Sie dann mit dessen Hilfe die gesuchte Anzahl.
 +
 +
A) Anzahl der fünfstelligen Zahlen aus den Ziffern 1 bis 6 dividiert durch die Zahl der Permutationen von 5 Elementen
 +
 +
B) Zahl der möglichen Verteilungen von 5 Kugeln auf 6 Urnen, wobei es nur auf die jeweilige Anzahl der Kugeln in den Urnen ankommt
 +
 +
C) Zahl der möglichen Verteilungen von 6 Kugeln auf 5 Urnen, wobei es nur auf die jeweilige Anzahl der Kugeln in den Urnen ankommt
 +
:{{Lösung versteckt|
 +
[[Bild:6b.jpg]]
 +
}}
 
</td></tr></table></center>
 
</td></tr></table></center>
  
  
 
</div>
 
</div>

Aktuelle Version vom 11. April 2010, 16:51 Uhr


Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2006
Stochastik IV


Download der Originalaufgaben: Abitur 2006 LK Mathematik Bayern - Lösung gesamt


Erarbeitet von Christian Burkard und Julius Schmidt



Die Firma VEGAS hat ein neues Gesellschaftsspiel entwickelt, bei dem neben Laplace-Würfeln auch spezielle Vegas-Würfel verwendet werden, die sich äußerlich von den Laplace-Würfeln nicht unterscheiden. Die Vegas- Würfel zeigen die Augenzahl „6“ mit der erhöhten Wahrscheinlichkeit \frac{1}{3} , während die anderen Augenzahlen untereinander gleich wahrscheinlich sind.

Aufgabe 1

Zeigen Sie, dass der Erwartungswert der Zufallsgröße „Augenzahl beim einmaligen Werfen eines Vegas-Würfels“ 4 ist.

1.jpg


Aufgabe 2

Auf dem Tisch liegen ungeordnet drei Laplace-Würfel und ein Vegas-Würfel. Ein Spieler nimmt davon zufällig drei Würfel und wirft sie gleichzeitig. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erzielt er drei gleiche Augenzahlen, wenn er drei Laplace-Würfel genommen hat? Mit welcher Wahrschein-lichkeit erzielt er drei gleiche Augenzahlen, wenn er zwei Laplace-Würfel und den Vegas-Würfel genommen hat? Welche Folgerung können Sie aus Ihren Ergebnissen bezüglich der stochastischen Abhängigkeit der Ereignisse „Er erzielt drei gleiche Augenzahlen“ und „Er nimmt drei Laplace-Würfel“ ziehen?

2.jpg



Aufgabe 3

Um bei einem Würfel festzustellen, ob es sich um einen Laplace- oder Vegas-Würfel handelt, wird er 100 mal geworfen. Ein Vegas-Würfel soll mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99 % als solcher eingestuft werden.

a)

Bestimmen Sie hierzu die Entscheidungsregel anhand der Anzahl der geworfenen Sechser so, dass möglichst auch ein Laplace-Würfel richtig eingestuft wird. [Ergebnis: Entscheidung für Vegas-Würfel ab 23 geworfenen Sechsern]

Jsucb 3a.jpg

b)

Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird bei dieser Entscheidungsregel ein Laplace-Würfel falsch eingestuft?

Jsucb 3b.jpg



Eine Packung des Spiels enthält – ungeordnet und äußerlich nicht unter-scheidbar – 7 Laplace- und 3 Vegas-Würfel.

Aufgabe 4

Aus dieser Packung wird ein Würfel entnommen und 100-mal geworfen. Mit welcher Wahrschein¬lichkeit handelt es sich um einen Vegas-Würfel, wenn dabei 25-mal eine „6“ geworfen wird?

Burkard Christian 483px-4.jpg



Aufgabe 5

Die 10 Würfel werden nun einzeln nacheinander aus der Packung ent-nommen und je 100-mal geworfen.

a)

Die Zufallsgröße X bezeichne die Anzahl der geworfenen Sechser unter den insgesamt 1000 durchzuführenden Würfen. Berechnen Sie Erwartungs¬wert und Varianz von X. [Ergebnis: E(X)=216\frac{2}{3}, Var(X) = 163\frac{8}{9} ]

5a.jpg

b)

Die Zufallsgröße X ist näherungsweise normalverteilt. Berechnen Sie mit Hilfe der Normalverteilung, mit welcher Wahrscheinlichkeit bei den 1000 Würfen mehr als 225-mal eine „6“ geworfen wird.

5b.jpg



Aufgabe 6

Bei einem Spiel werden jeweils 5 Würfel geworfen. Aus den Augen-zahlen – aufgefasst als Ziffern – werden möglichst große fünfstellige natürliche Zahlen gebildet, z. B. 43321, nicht jedoch 34312.

a)

Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man eine Zahl größer als 50000, wenn es sich um 5 Laplace-Würfel handelt?

6a.jpg

b)

Wie viele verschiedene natürliche Zahlen können nach dieser Spiel-regel gebildet werden? Wählen Sie aus den folgenden kombina-torischen „Modellen“ zunächst das für dieses Problem passende aus und bestimmen Sie dann mit dessen Hilfe die gesuchte Anzahl.

A) Anzahl der fünfstelligen Zahlen aus den Ziffern 1 bis 6 dividiert durch die Zahl der Permutationen von 5 Elementen

B) Zahl der möglichen Verteilungen von 5 Kugeln auf 6 Urnen, wobei es nur auf die jeweilige Anzahl der Kugeln in den Urnen ankommt

C) Zahl der möglichen Verteilungen von 6 Kugeln auf 5 Urnen, wobei es nur auf die jeweilige Anzahl der Kugeln in den Urnen ankommt

6b.jpg


Von „http://rmg.zum.de/index.php?title=LK_Mathematik/Abitur/2006_IV&oldid=31968“