Lösung: Wendepunkte

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y  = f_a (x) = ( x - a )\cdot e^{a+2-x} mit x\in R ; a\in R

Inhaltsverzeichnis

Wendepunkte

Zweite Ableitung: siehe Überprüfung des Extrempunkts; 2. Möglichkeit

f_a^{''} (x) = e^{a+2-x}\cdot ( x - a - 2 )

Um mögl. Wendepunkte zu bestimmen benötigt man die zweite Ableitung.

Mögl. Wendepunkte tretten für f_a^{''} (x) = 0\; auf.

f_a^{''} (x) = 0\;
e^{a+2-x}\cdot ( x - a - 2 ) = 0    \;\;\;\;\;\; | \; e^{a+2-x} > 0
 \rightarrow \; ( x - a - 2 ) = 0 \;\;\;\;\;\; | \;  + 2 ; + a
x = a + 2\;

Möglicher Wendepunkt bei x = a + 2 \;


f_a ( a + 2 ) = ( a + 2 - a )\cdot e^{a+2-(a + 2 )}
 = 2\cdot e^{a+2-a - 2 )}
 = 2\cdot e^0
 = 2\;

 \rightarrow mög. WP \; ( a + 2 / 2 )


Überprüfung des Wendepunkts

1. Möglichkeit

H-Methode , VZW des Krümmungsverhaltens

f_a^{''} ( a + 2  - h ) = e^{a + 2 - (a + 2 - h )}\cdot ( a + 2 - h - a - 2 )
= e^{a + 2 - a- 2 + h }\cdot (- h)
= e^{h }\cdot ( -h )
= -h\cdot e^{h }
lim h --> 0 ............
f_a^{''} ( a + 2 +  h ) = e^{a + 2 - (a + 2 + h )}\cdot ( a + 2 + h - a - 2 )
= e^{a + 2 - a- 2 - h }\cdot (+ h)
= e^{-h }\cdot ( +h )
= +h\cdot e^{-h }
lim h --> 0 ............


\rightarrow \; VZW \; bei\; x = a + 2
\rightarrow  \;Wendepunkt bei \;( a + 2 / 2 )


zur Verdeutlichung

Krümmungsverhalten
x<2+a x=2+a x>2+a
ea + 2 - x + +
( x - a - 2 ) - +
fa ( x ) - +

--> WP ( a + 2 / 2 )


2. Möglichkeit

Verwendung der dritten Ableitung

f_a (x) = e^{a+2-x}\cdot ( x - a)

f_a^{'} (x) = e^{a+2-x}\cdot ( 1+a-x )

f_a^{''} (x) = e^{a+2-x}\cdot ( x - a - 2 )


Um die dritte Ableitung zu bekommen muss man hier die Produktregel verwenden. [Hilfe zur Produktregel]

f_a^{} (x) = e^{a+2-x}\cdot ( x - a - 2 )\cdot (-1) + 1\cdot e^{a+2-x}

                               = e^{a+2-x}\cdot ( a + 2 - x + 1 )
                               = ( a + 3 - x )\cdot e^{a+2-x}

Wenn die dritte Ableitung am möglichen Wendepunkt ungleich Null ist, liegt ein Wendepunkt vor.

f_a^{'''} ( a + 2 ) = ( a + 3 - ( a + 2 ))\cdot e^{a + 2 - ( a + 2 )}

                                     = ( a + 3 - a - 2 ) \cdot e^{a + 2 -  a - 2 }
                                     = 1\cdot e^{0}
                                     = 1\; 
                                     > 0\;

\rightarrow \; WP \;( a + 2 / 2 )