Lösung: Wendepunkte: Unterschied zwischen den Versionen

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Zweite Ableitung: siehe Überprüfung des Extrempunkts; 2. Möglichkeit
 
Zweite Ableitung: siehe Überprüfung des Extrempunkts; 2. Möglichkeit
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<math>f_a^{''} (x) = e^{a+2-x}\cdot ( x - a - 2 )</math>
 
  
  
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==== 1. Möglichkeit ====
 
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H-Methode , VZW des Krümmungsverhaltens
 
H-Methode , VZW des Krümmungsverhaltens
  
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f<sub>a</sub><sup>''</sup> ( a + 2 + - h ) = e<sup>a + 2 - (a + 2 - h )</sup> ( a + 2 - h - a - 2 )
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<math>f_a^{''} ( a + 2 - h ) = e^{a + 2 - (a + 2 - h )}\cdot ( a + 2 - h - a - 2 )</math><br />
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                                           = e<sup>a + 2 - a - 2 + h )</sup>  ( -h )
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                                           <math>= e^{a + 2 - a- 2 + h }\cdot (- h)</math><br />
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                                           = e^h ( -h )
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                                           <math>= e^{h }\cdot ( -h )</math><br />
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                                           = -h e^h
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                                           <math>= -h\cdot e^{h }</math><br />
 
                                           lim h --> 0 ............
 
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f<sub>a</sub><sup>''</sup> ( a + 2 + + h ) = e<sup>a + 2 - (a + 2 + h )</sup> ( a + 2 + h - a - 2 )
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<math>f_a^{''} ( a + 2 + h ) = e^{a + 2 - (a + 2 + h )}\cdot ( a + 2 + h - a - 2 )</math><br />
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                                           = e<sup>a + 2 - a - 2 - h )</sup> ( h )
+
                                           <math>= e^{a + 2 - a- 2 - h }\cdot (+ h)</math><br />
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                                           = e^h ( h )
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                                           <math>= e^{-h }\cdot ( +h )</math><br />
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                                           = h e^h
+
                                           <math>= +h\cdot e^{-h }</math><br />
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                                           lim h --> 0 ............
 
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--> VZW bei x = a + 2<br />
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<math>\rightarrow  VZW bei x = a + 2</math><br />
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--> Wendepunkt bei ( a + 2 / 2 )
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<math>\rightarrow  Wendepunkt bei ( a + 2 / 2 )</math>
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<u>zur Verdeutlichung</u>
 
<u>zur Verdeutlichung</u>

Version vom 20. Januar 2010, 00:13 Uhr

y = f_a (x) = ( x - a )\cdot e^{a+2-x} mit x\in R ; a\in R

Wendepunkte

Um mögl. Wendepunkte zu bestimmen benötigt man die zweite Ableitung.

Zweite Ableitung: siehe Überprüfung des Extrempunkts; 2. Möglichkeit


Mögl. Wendepunkte tretten für f_a^{''} (x) = 0\; auf. 

f_a^{''} (x) = 0\;

e^{a+2-x}\cdot ( x - a - 2 ) = 0    \;\;\;\;\;\; | \; e^{a+2-x} > 0

    \rightarrow \; ( x - a - 2 ) = 0 \;\;\;\;\;\; | \;  + 2 ; + a

               x = a + 2\;

Möglicher Wendepunkt bei x = a + 2 \; 


f_a ( a + 2 ) = ( a + 2 - a )\cdot e^{a+2-(a + 2 )}

                       = 2\cdot e^{a+2-a - 2 )}

                       = 2\cdot e^0

                       = 2\;

\rightarrow mög. WP \; ( a + 2 / 2 )


Überprüfung des Wendepunkts

1. Möglichkeit

H-Methode , VZW des Krümmungsverhaltens 

f_a^{''} ( a + 2  - h ) = e^{a + 2 - (a + 2 - h )}\cdot ( a + 2 - h - a - 2 )

                                          = e^{a + 2 - a- 2 + h }\cdot (- h)

                                          = e^{h }\cdot ( -h )

                                          = -h\cdot e^{h }

                                          lim h --> 0 ............

f_a^{''} ( a + 2 +  h ) = e^{a + 2 - (a + 2 + h )}\cdot ( a + 2 + h - a - 2 )

                                          = e^{a + 2 - a- 2 - h }\cdot (+ h)

                                          = e^{-h }\cdot ( +h )

                                          = +h\cdot e^{-h }

                                          lim h --> 0 ............


\rightarrow VZW bei x = a + 2
\rightarrow Wendepunkt bei ( a + 2 / 2 )


zur Verdeutlichung

Krümmungsverhalten
x<2+a x=2+a x>2+a
ea + 2 - x + +
( x - a - 2 ) - +
fa ( x ) - +

--> WP ( a + 2 / 2 )


2. Möglichkeit Verwendung der dritten Ableitung

fa (x) = ( x - a ) ea + 2 - x

fa' (x) = ea + 2 - x ( 1 + a - x )

fa (x) = ea + 2 - x ( x - a - 2 )

Um die dritte Ableitung zu bekommen muss man hier die Produktregel verwenden. [Hilfe zur Produktregel]

fa (x) = ea + 2 - x ( x - a - 2 ) (-1) + 1 ea + 2 - x 

                               = ea + 2 - x  ( a + 2 - x + 1 )
                               = ( a + 3 - x ) ea + 2 - x

Wenn die dritte Ableitung am möglichen Wendepunkt ungleich Null ist, liegt ein Wendepunkt vor.

fa ( a + 2 ) = ( a + 3 - ( a + 2 )) ea + 2 - ( a + 2 ) 

                                     = ( a + 3 - a - 2 ) ea + 2 - a - 2 ) 
                                     = 1 e^0
                                     = 1 
                                     > 0

--> WP ( a + 2 / 2 )

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