Aufgabenstellung

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Für jede reelle Zahl a sei eine Funktion f_a\; durch y  = f_a (x) = ( x - a )\cdot e^{a+2-x} mit x\in R gegeben.


Inhaltsverzeichnis

Teilaufgabe a)

1.Untersuchen Sie den Graphen von f_a\, auf:
  • Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen,
  • lokale Extrempunkte und
  • Wendepunkte!
Bestimmen Sie gegebenenfalls deren Koordinaten!
2.Alle Extrempunkte liegen auf dem Graphen einer Funktion h. Geben Sie eine Funktionsgleichung von h an!
3.Skizzieren Sie den Graphen der Funktion f_2\, für 1,6  \le  x  \le 7!

zu Teilaufgabe a)


Teilaufgabe b)

1. Geben Sie aufgrund Ihrer Ergebnisse aus Teilaufgabe a)zwei Eigenschaften des Graphen einer Stammfunktion von f_a\, an!
2.Bestimmen Sie durch partielle Integration eine Gleichung einer Stammfunktion von f_a\,!
3.Die x-Achse und der Graph der Funktion f_2\, begrenzen im I. Quadranten eine nach rechts ins Unendliche reichende Fläche. Berechnen sie deren Inhalt!
Hinweis: \lim_{x\to\infty}x\cdot e^{-x} = 0

zu Teilaufgabe b)


Teilaufgabe c)

Im Punkt W_a\,(a+2; f_a(a+2)) werde die Tangente an den Graphen von f_a\, gelegt
1. Für welchen Wert von a schneidet diese Tangente die y-Achse im Punkt A(0;2012)\,?
Nun sei a = 2\,.
2. Berechnen Sie alle Stellen x_B\,, für die die Tangente die y-Achse im Punkt B\,(x_B;f_2(x_B)) an den Graphen von f_2\, durch den Koordinatenursprung verläuft!

zu Teilaufgabe c)


Teilaufgabe d)

Für jeden Wert von a bilden die Punkte R_a \, (a / f_a(a)), H_a\, (a+1 / f_a(a+1)) und W_a\, (a+2 / f_a(a+2)) ein Dreieck.

1.Zeigen Sie, dass alles diese Dreiecke zueinander kongruent sind!
2.Berechnen Sie deren Flächeeninhalt!

zu Teilaufgabe d)


Teilaufgabe e)

Beweisen Sie, dass für die n-te Ableitung (n\ge 1) der Funktion f_a\, gilt:

y=f_a(x)=(-1)^{n+1}\cdot(n-x+a)\cdot e^{a+2-x}

zu Teilaufgabe e)



--Andre Etzel 22:42, 20. Jan. 2010 (UTC)