Aufgabenstellung: Unterschied zwischen den Versionen
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(Die Seite wurde neu angelegt: Für jede reelle Zahl a sei eine Funktion '''f<sub>a</sub>''' durch <math>y = f_a (x) = ( x - a )\cdot e^{a+2-x}</math> mit <math>x\in R</math> gegeben. === Teilaufg...) |
(→Teilaufgabe d)) |
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− | Für jede reelle Zahl a sei eine Funktion | + | Für jede reelle Zahl a sei eine Funktion <math>f_a\;</math> durch <math>y = f_a (x) = ( x - a )\cdot e^{a+2-x}</math> mit <math>x\in R</math> gegeben. |
=== Teilaufgabe a) === | === Teilaufgabe a) === | ||
− | :1.Untersuchen Sie den Graphen von | + | :1. Untersuchen Sie den Graphen von <math>f_a\,</math> auf: |
::*Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, | ::*Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, | ||
::*lokale Extrempunkte und | ::*lokale Extrempunkte und | ||
::*Wendepunkte! | ::*Wendepunkte! | ||
:Bestimmen Sie gegebenenfalls deren Koordinaten! | :Bestimmen Sie gegebenenfalls deren Koordinaten! | ||
− | :2.Alle Extrempunkte liegen auf dem Graphen einer Funktion h. Geben Sie eine Funktionsgleichung von h an! | + | :2. Alle Extrempunkte liegen auf dem Graphen einer Funktion h. Geben Sie eine Funktionsgleichung von h an! |
− | :3.Skizzieren Sie den Graphen der Funktion | + | :3. Skizzieren Sie den Graphen der Funktion <math>f_2\,</math> für <math>1,6 \le x \le 7</math>! |
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=== Teilaufgabe b) === | === Teilaufgabe b) === | ||
− | :1. Geben Sie aufgrund Ihrer Ergebnisse aus Teilaufgabe a)zwei Eigenschaften des Graphen einer Stammfunktion von | + | :1. Geben Sie aufgrund Ihrer Ergebnisse aus Teilaufgabe a) zwei Eigenschaften des Graphen einer Stammfunktion von <math>f_a\,</math> an! |
− | :2.Bestimmen Sie durch partielle Integration eine Gleichung einer Stammfunktion von | + | :2. Bestimmen Sie durch partielle Integration eine Gleichung einer Stammfunktion von <math>f_a\,</math>! |
− | :3.Die x-Achse und der Graph der Funktion | + | :3. Die x-Achse und der Graph der Funktion <math>f_2\,</math> begrenzen im I. Quadranten eine nach rechts ins Unendliche reichende Fläche. Berechnen sie deren Inhalt! |
::Hinweis: <math>\lim_{x\to\infty}x\cdot e^{-x} = 0 </math> | ::Hinweis: <math>\lim_{x\to\infty}x\cdot e^{-x} = 0 </math> | ||
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=== Teilaufgabe c) === | === Teilaufgabe c) === | ||
− | :Im Punkt | + | :Im Punkt <math>W_a\,(a+2; f_a(a+2))</math> werde die Tangente an den Graphen von <math>f_a\,</math> gelegt |
− | :1. Für welchen Wert von a schneidet diese Tangente die y-Achse im Punkt A(0;2012)? | + | :1. Für welchen Wert von a schneidet diese Tangente die y-Achse im Punkt <math>A(0;2012)\,</math>? |
− | : Nun sei a = 2. | + | : Nun sei <math>a = 2\,</math>. |
− | :2. Berechnen Sie alle Stellen | + | :2. Berechnen Sie alle Stellen <math>x_B\,</math>, für die die Tangente die y-Achse im Punkt <math>B\,(x_B;f_2(x_B))</math> an den Graphen von <math>f_2\,</math> durch den Koordinatenursprung verläuft! |
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=== Teilaufgabe d) === | === Teilaufgabe d) === | ||
− | Für jeden Wert von a bilden die Punkte | + | Für jeden Wert von a bilden die Punkte <math>R_a \, (a / f_a(a))</math>, <math>H_a\, (a+1 / f_a(a+1))</math> und <math>W_a\, (a+2 / f_a(a+2))</math> ein Dreieck. |
− | :1.Zeigen Sie, dass | + | :1. Zeigen Sie, dass alle diese Dreiecke zueinander kongruent sind! |
− | :2.Berechnen Sie deren | + | :2. Berechnen Sie deren Flächeninhalt! |
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=== Teilaufgabe e) === | === Teilaufgabe e) === | ||
− | Beweisen Sie, dass für die n-te Ableitung ( | + | Beweisen Sie, dass für die n-te Ableitung (<math>n\ge 1</math>) der Funktion <math>f_a\,</math> gilt: |
: <math>y=f_a(x)=(-1)^{n+1}\cdot(n-x+a)\cdot e^{a+2-x}</math> | : <math>y=f_a(x)=(-1)^{n+1}\cdot(n-x+a)\cdot e^{a+2-x}</math> | ||
Aktuelle Version vom 26. Januar 2010, 20:20 Uhr
Für jede reelle Zahl a sei eine Funktion durch mit gegeben.
Inhaltsverzeichnis |
Teilaufgabe a)
- 1. Untersuchen Sie den Graphen von auf:
- Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen,
- lokale Extrempunkte und
- Wendepunkte!
- Bestimmen Sie gegebenenfalls deren Koordinaten!
- 2. Alle Extrempunkte liegen auf dem Graphen einer Funktion h. Geben Sie eine Funktionsgleichung von h an!
- 3. Skizzieren Sie den Graphen der Funktion für !
Teilaufgabe b)
- 1. Geben Sie aufgrund Ihrer Ergebnisse aus Teilaufgabe a) zwei Eigenschaften des Graphen einer Stammfunktion von an!
- 2. Bestimmen Sie durch partielle Integration eine Gleichung einer Stammfunktion von !
- 3. Die x-Achse und der Graph der Funktion begrenzen im I. Quadranten eine nach rechts ins Unendliche reichende Fläche. Berechnen sie deren Inhalt!
- Hinweis:
Teilaufgabe c)
- Im Punkt werde die Tangente an den Graphen von gelegt
- 1. Für welchen Wert von a schneidet diese Tangente die y-Achse im Punkt ?
- Nun sei .
- 2. Berechnen Sie alle Stellen , für die die Tangente die y-Achse im Punkt an den Graphen von durch den Koordinatenursprung verläuft!
Teilaufgabe d)
Für jeden Wert von a bilden die Punkte , und ein Dreieck.
- 1. Zeigen Sie, dass alle diese Dreiecke zueinander kongruent sind!
- 2. Berechnen Sie deren Flächeninhalt!
Teilaufgabe e)
Beweisen Sie, dass für die n-te Ableitung () der Funktion gilt:
--Andre Etzel 22:42, 20. Jan. 2010 (UTC)