Lösung a)

$y = f_{a}(t) = \frac{2\cdot e^{at}}{e^{at}+29},$ $t\in R, a\in R, a>0$

Untersuchen sie das Verhalten der Funktionen f_a für t -> $\pm \infty$ und geben sie für die Asymptoten Gleichungen an.

Um das Verhalten gegen gegen $\pm \infty$ zu betrachten, muss man mit Hilfe des Limes einen Grenzwert bilden. Hierbei muss man lediglich die Variable t gegen $\pm \infty$ laufen lassen und sich dann überlegen, welche Funktion stärker überwiegt und gegen welchen Wert die Funktion dann letztlich strebt.

Verhalten gegen $+\infty$:
$\lim_{t \to \infty } f(t) = \lim_{t \to \infty } \frac{2\cdot e^{at} }{e^{at}+29 } = 2 \cdot \lim_{t \to \infty }\frac{e^{at} }{e^{at}+29 } = 2\cdot 1 = 2$

Da stets gilt a > 0, geht der Term $\lim_{t \to \infty } e^{at}$ immer gegen $+\infty$; Daraus folgt nun, dass der Term $\lim_{t \to \infty } \frac{2\cdot e^{at} }{e^{at}+29 }$ gegen 1 gehen muss, da 29 im Vergleich zu $+\infty$ vernachlässigbar klein ist.

Verhalten gegen $-\infty$:
$\lim_{t \to - \infty } f(t) = 2\cdot \lim_{t \to -\infty } \frac{e^{at}}{e^{at}+29 } = 2\cdot \frac{0}{29} = 0$

Da stets gilt a > 0, geht der Term $\lim_{t \to - \infty } e^{at}$ immer gegen 0; Daraus folgt, dass der Zähler gegen 0 geht und der Nenner gegen 29. Wenn man nun 0 durch 29 teilt, erkennt man, dass der Grenzwert $\lim_{t \to -\infty } f(t)$ gegen 0 geht.

Gleichungen der Asymptoten:

• waagrechte Asymptote bei 0, wenn t gegen $-\infty$ geht

$\Rightarrow a(x) = 0$

• waagrechte Asymptote bei 2, wenn t gegen $+\infty$ geht

$\Rightarrow b(x) = 2$

Zeigen Sie, dass alle Funktionen f_a monoton steigend sind

Um zu zeigen, dass eine Funktion streng monoton steigend oder fallend ist, muss die 1. Ableitung betrachtet werden, die eine Aussage über die Steigung der Funktion trifft. Wenn die 1. Ableitung einen Vorzeichenwechsel hat, ändert sich somit ebenfalls der Verlauf des Graphen der Funktion, entweder von steigend zu fallend oder von fallend zu steigend. Es werden also zur Monotonieüberprüfung mehrere Schritte benötigt, die mit dem Aufstellen der 1. Ableitung beginnen. Anschließend muss man herausfinden, ob diese eine Nullstelle hat. Zu guter Letzt muss man nun nur noch Überprüfen, ob an der Nullstelle der 1. Ableitung ein Vorzeichenwechsel stattfindet oder nicht.

Bei der Bildung der 1. Ableitung hier ist zu beachten, dass die Quotientenregel angewendet werden muss. Was genau diese besagt und wie diese angewendet wird, ist auf dieser Seite sehr gut beschrieben.

$f'_{a} (t) = \frac{2\cdot a\cdot e^{at}\cdot (e^{at} + 29) - 2\cdot e^{at}\cdot a\cdot e^{at} }{(e^{at}+29) ^{2} } = 2\cdot a\cdot \frac{(e^{at}) ^{2} + 29\cdot e^{at} - (e^{at}) ^{2} }{(e^{at}+29) ^{2}} = \frac{58\cdot a\cdot e^{at} }{(e^{at}+29) ^{2}}$

Suche nach möglichem Extrempunkt; falls kein Extrempunkt vorhanden ist, zeigt dies, dass die Funktion monoton steigend oder fallend sein muss.

$f'_{a} (t) = \frac{58\cdot a\cdot e^{at} }{(e^{at}+29) ^{2}} = 0\;$

$58\cdot a \cdot e^{at} = 0\;$

$e^{at} = 0\;\;\;\;\;\;\;\; (f)$

Da die e-Funktion nie 0 werden kann, sondern dieser sich immer nur annähert, gibt es keine Nullstelle der 1. Ableitung. Somit lässt sich folgern, dass kein Vorzeichenwechsel der 1. Ableitung stattfindet und weiterhin die Funktion entweder streng monoton steigend oder fallend ist.

Beweis dafür, dass die Funktion streng monoton steigend ist:

Da man nun weiß, dass die 1. Ableitung keine Nullstelle hat, an der sich das Monotonieverhalten ändern kann, lässt sich sehr leicht aus den Grenzwerten gegen $\pm \infty$ erkennnen, dass der Verlauf des Graphen stets steigend ist.

Der Grenzwert $\lim_{t \to - \infty }$ geht gegen 0
Der Grenzwert $\lim_{t \to \infty }$ geht gegen 2

Anhand dieser Grenzwerte und dem fehlenden Nullstelle der 1. Ableitung geht deutlich hervor, dass die Funktion einen streng monoton steigenden Verlauf nimmt, der sich 0 und 2 annähert

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