Lösung b)
- ,
Untersuchen sie die Funktionen fa auf Nullstellen und lokale Extremstellen
Suche nach Nullstellen:
keine Nullstellen, da die e-Funktion nie 0 wird und somit der Ausdruck ebenfalls nie 0 werden kann
Suche nach Extremstellen:
keine Extremstellen, da die e-Funktion nie 0 wird und somit der Ausdruck ebenfalls nie 0 werden kann
Jeder Graph Ga bestitzt genau einen Wendepunkt Wa. Zeigen sie, dass die Wendepunkte Wa auf einer parallelen zur t-Achse liegen
Die 2. Ableitung:
Suche nach dem Wendepunkt:
Beweis für Wendepunkt:
1. Möglichkeit: Die H-Methode
Man nähert sich dem möglichen Wendepunkt mit Hilfe eines Grenzwertes an und versucht herauszufinden, ob ein Vorzeichenwechsel am Wendepunkt stattfindet. Falls es einen Vorzeichenwechsel geben sollte, ist dies der eindeutige Beweis für einen Wendepunkt an dieser Stelle.
1. Teil:
Da die Faktoren alle positiv sind, kann ein möglicher Vorzeichenwechsel nur von dem Term abhängig sein. Dieser wird nun im folgenden betrachtet:
Der Zähler ist größer 0, da gilt: ; dies liegt daran, dass der Faktor durch das Quadrat noch kleiner wird und somit der Term noch stärker gegen 0 strebt. Positiv ist der Zähler nun, da gegen 1+ geht.
2. Teil:
Da die Faktoren alle positiv sind, kann ein möglicher Vorzeichenwechsel nur von dem Term abhängig sein. Dieser wird nun im folgenden betrachtet:
Der Zähler ist kleiner 0, da gilt: ; dies liegt daran, dass der Faktor durch das Quadrat noch kleiner wird und somit der Term noch stärker gegen 0 strebt. Da jedoch nun die Kehrwerte gebildet werden, wird der Term größer als der Term Negativ ist der Zähler nun, da gegen 1- geht.
2. Möglichkeit: 3. Ableitung
Mit Hilfe der 3. Ableitung lässt sich sehr leicht herausfinden, ob an dem möglichen Wendepunkt auch wirklich einer vorhanden ist. Mann muss lediglich die 3. Ableitung an der Stelle des möglichen Wendepunkts bilden und schauen, ob die 3. Ableitung an dieser Stelle ungleich 0 ist. Falls dies der Fall ist, ist dies der eindeutige Beweis für die Existenz eines Wendepunkts.
Die 3. Ableitung:
Möglichen Wendepunkt in die 3. Ableitung einsetzen:
An der Stelle ist eindeutig ein Wendepunkt nachgewiesen worden, da die 3. Ableitung an dieser Stelle ungleich 0 ist.
3. Möglichkeit: Vorzeichentabelle
Die Möglichkeit des Nachweises durch die Vorzeichentabelle, ist eine vereinfachte Form der H-Methode. Sie ist deutlich zeitsparender, weshalb sie von mir in Prüfungen empfohlen wird, da somit sehr schnell und fehlerfrei nachgewiesen werden kann, ob es einen Vorzeichenwechsel an der möglichen Stelle gibt.
Man zerlegt die 2. Ableitung in seine einzelnen Faktoren und betrachtet das Verhalten vor dem möglichen Wendepunkt und nach dem möglichen Wendepunkt. Man notiert sich nun, ob es einen Vorzeichenwechsel bei einem der Faktoren gibt und schlussfolgert aus den einzelnen Vorzeichenwechsel den Vorzeichenwechsel der 2. Ableitung.
Aus der Vorzeichentabelle lässt sich nun ganz leicht erkennen, dass es an der Stelle einen Vorzeichenwechsel der 2. Ableitung von zu gibt. Somit ist es ein Beweis für einen Wendepunkt.
Begründung, warum alle Wendepunkte auf einer Parallelen zur t-Achse liegen:
Da wir nun zweifelsfrei nachgewiesen haben, dass es einen Wendepunkt an der Stelle gibt, muss nun gezeigt werden, dass alle diese Wendepunkte auf einer Parallelen zur t-Achse liegen.
Bedingung: Alle y-Werte müssen gleich sein
An dem y-Wert sieht man, dass jeder Wendepunkt den y-Wert 1 hat und dieser völlig unabhängig von a ist. Somit ist zweifelsfrei nachgewiesen worden, dass alle Wendepunkte auf einer Parallelen zur t-Achse liegen
Zeichnen sie die Graphen G0,75 und G1 in ein und dasselbe Koordinatensystem und schlussfolgern Sie, welchen Einfluss der Parameter a auf den Verlauf der Graphen Ga hat
Man soll nun die beiden Graphen G1 und G0,75 miteinander vergleichen. Im nebenstehenden Bild kann man die Graphen, sowie die beiden Wendepunkte und die Ortskurve der Wendepunkte erkennen. Der rote Graph beschreibt die Funktion und der grüne die Funktion .
Anhand der Graphen lässt sich nun sehr leicht der Einfluss der Variablen a auf den Graphen der Funktion festmachen. Wie man erkennen kann, ist die Variable a für die Steigung des Graphen verantwortlich. Je größer a wird, desto größer ist die Steigung im Wendepunkt WPa.
Für diejenigen, die den allgemeinen Verlauf in Abhängigkeit von a nochmals sehen wollen