Lösung b)

$y = f_{a}(t) = \frac{2\cdot e^{at}}{e^{at}+29}$, $t\in R, a\in R, a>0$

$f'_{a} (t) = \frac{58\cdot a\cdot e^{at} }{(e^{at}+29) ^{2}}$

Untersuchen sie die Funktionen f_a auf Nullstellen und lokale Extremstellen

Suche nach Nullstellen:

$f_{a}(t) = \frac{2\cdot e^{at}}{e^{at}+29} = 0 \Rightarrow 2\cdot e^{at} = 0$ $\Rightarrow e^{at} = 0 (f)$

$\Rightarrow$ keine Nullstellen, da die e-Funktion nie 0 wird und somit der Ausdruck $e^{at}\;$ ebenfalls nie 0 werden kann

Suche nach Extremstellen:

$f'_{a} (t) = \frac{58\cdot a\cdot e^{at} }{(e^{at}+29) ^{2}} = 0 \Rightarrow 58\cdot a \cdot e^{at} = 0 \Rightarrow e^{at} = 0 (f)$

$\Rightarrow$ keine Extremstellen, da die e-Funktion nie 0 wird und somit der Ausdruck $e^{at}\;$ ebenfalls nie 0 werden kann

Jeder Graph G_a bestitzt genau einen Wendepunkt W_a. Zeigen sie, dass die Wendepunkte W_a auf einer parallelen zur t-Achse liegen

Die 2. Ableitung:

$f''_{a}(t) = \frac{58\cdot a \cdot e^{at}\cdot a\cdot(e^{at}+29)^{2} - 2 \cdot(e^{at} + 29)\cdot e^{at}\cdot a \cdot 58 \cdot a \cdot e^{at} }{(e^{at} + 29) ^{4} } =$

$= \frac{58\cdot a^{2} \cdot e^{at}\cdot (e^{at} + 29) - 2\cdot a^{2} \cdot (e^{at})^{2}\cdot 58 }{(e^{at}+29)^{3}} = 58\cdot a^{2}\cdot \frac{(e^{at})^{2} + 29\cdot e^{at} - 2(e^{at})^2}{(e^{at} + 29)^{3}} = 58\cdot a^{2} \cdot \frac {29\cdot e^{at} - e^{2at}}{(e^{at}+29)^{3}}$

Suche nach dem Wendepunkt:

$f''_{a}(t) = 58\cdot a^{2} \cdot \frac {29\cdot e^{at} - e^{2at}}{(e^{at}+29)^{3}} = 0$

$58\cdot a^{2} (29\cdot e^{at} - e^{2at}) = 0$                              $| : 58\cdot a^{2} \Rightarrow (a \neq 0)$
       $(29\cdot e^{at} - e^{2at}) = 0$                              $| + e^{2at}\;$  
               $29 \cdot e^{at} = e^{2at}$                            $| ln\;$
           $ln(29\cdot e^{at}) = ln(e^{2at})$
      $ln(29) + ln(e^{at}) = ln(e^{2at})\;$                       $| - ln(e^{at})\;$
                $ln(29) = ln(e^{2at}) - ln(e^{at})\;$
                $ln(29) = 2\cdot a\cdot t \cdot ln(e) - a\cdot t\cdot ln(e)$    (ln(e)=1)
                $ln(29) = 2\cdot a\cdot t - a\cdot t$
                $ln(29) = a\cdot t$
                      $t = \frac {ln29} {a}$

Beweis für Wendepunkt:

1. Möglichkeit: Die H-Methode

Man nähert sich dem möglichen Wendepunkt mit Hilfe eines Grenzwertes an und versucht herauszufinden, ob ein Vorzeichenwechsel am Wendepunkt stattfindet. Falls es einen Vorzeichenwechsel geben sollte, ist dies der eindeutige Beweis für einen Wendepunkt an dieser Stelle.

1. Teil: $f''_{a}(\frac {ln29} {a}+h)$

$f''_{a}(\frac {ln29} {a}+h) = \lim_{h \to 0} 58\cdot a^{2}\cdot \frac {29\cdot e^{a\cdot(\frac {ln29} {a}+h)} - e^{2a\cdot(\frac {ln29} {a}+h)}}{(e^{a\cdot (\frac {ln29} {a}+h)}+29)^{3}} = 58\cdot a^{2}\lim_{h \to 0} \frac {29\cdot e^{(\frac {a\cdot ln29} {a} + ah)} - e^{(\frac {2a\cdot ln29} {a} + 2ah)}}{(e^{(\frac {a\cdot ln29} {a} + ah)} + 29)^{3}} =$

$= 58\cdot a^{2}\lim_{h \to 0} \frac {29\cdot e^{(ln29 + ah)} - e^{(2\cdot ln29 + 2ah)}}{(e^{(ln29 + ah)} + 29)^{3}}= 58\cdot a^{2}\lim_{h \to 0} \frac {29\cdot e^{ln29}\cdot e^{ah} - e^{ln(29^{2})}\cdot e^{2ah}}{(e^{ln29}\cdot e^{ah} + 29)^{3}}=$

$= 58\cdot a^{2}\lim_{h \to 0} \frac {29\cdot 29\cdot e^{ah} - 29\cdot 29\cdot e^{2ah}}{(ln29\cdot e^{ah} + 29)^{3}}= 58\cdot 29^{2}\cdot a^{2}\lim_{h \to 0} \frac {e^{ah} - e^{2ah}}{(ln29\cdot e^{ah} + 29)^{3}}=$

$= 58\cdot 29^{2}\cdot a^{2}\lim_{h \to 0} (\frac {1}{(ln29\cdot e^{ah} + 29)^{3}}) \lim_{h \to 0} (e^{ah} - e^{2ah})$

Da die Faktoren $58\cdot 29^{2}\cdot a^{2}\lim_{h \to 0} (\frac {1}{(ln29\cdot e^{ah} + 29)^{3}})$ alle positiv sind, kann ein möglicher Vorzeichenwechsel nur von dem Term $\lim_{h \to 0} (e^{ah} - e^{2ah})$ abhängig sein. Dieser wird nun im folgenden betrachtet:

$\lim_{h \to 0} (e^{ah} - e^{2ah})= \lim_{h \to 0} (e^{ah} - e^{(ah)^{2}}) >0$

Der Zähler ist größer 0, da gilt: $e^{ah} > e^{(ah)^{2}}$; dies liegt daran, dass der Faktor $(ah)^{2}\;$ durch das Quadrat noch kleiner wird und somit der Term noch stärker gegen 0 strebt. Positiv ist der Zähler nun, da $e^{ah}\;$ gegen 1⁺ geht.

$\Rightarrow f''_{a}(\frac {ln29} {a}+h) > 0$

2. Teil: $f''_{a}(\frac {ln29} {a}-h)$

$f''_{a}(\frac {ln29} {a}-h) = \lim_{h \to 0} 58\cdot a^{2}\cdot \frac {29\cdot e^{a\cdot(\frac {ln29} {a}-h)} - e^{2a\cdot(\frac {ln29} {a}-h)}}{(e^{a\cdot (\frac {ln29} {a}-h)}+29)^{3}} = 58\cdot a^{2}\lim_{h \to 0} \frac {29\cdot e^{(\frac {a\cdot ln29} {a} - ah)} - e^{(\frac {2a\cdot ln29} {a} - 2ah)}}{(e^{(\frac {a\cdot ln29} {a} - ah)} + 29)^{3}} =$

$= 58\cdot a^{2}\lim_{h \to 0} \frac {29\cdot e^{(ln29 - ah)} - e^{(2\cdot ln29 - 2ah)}}{(e^{(ln29 - ah)} + 29)^{3}}= 58\cdot a^{2}\lim_{h \to 0} \frac {29\cdot \frac {e^{ln29}} {e^{ah}} - \frac {e^{ln(29)^{2}}}{e^{2ah}}}{(\frac {e^{ln29}}{e^{ah}} + 29)^{3}}=$

$= 58\cdot a^{2}\lim_{h \to 0} \frac {29\cdot 29\cdot \frac {1} {e^{ah}} - 29\cdot 29\cdot \frac {1} {e^{2ah}}}{(\frac {ln29} {e^{ah}} + 29)^{3}}= 58\cdot 29^{2}\cdot a^{2}\lim_{h \to 0} \frac {\frac {1} {e^{ah}} - \frac {1} {e^{2ah}}}{(\frac {ln29} {e^{ah}} + 29)^{3}}=$

$= 58\cdot 29^{2}\cdot a^{2}\lim_{h \to 0} (\frac {1}{(\frac {ln29} {e^{ah}} + 29)^{3}}) \lim_{h \to 0} (\frac {1} {e^{ah}} - \frac {1} {e^{2ah}})$

Da die Faktoren $58\cdot 29^{2}\cdot a^{2}\lim_{h \to 0} (\frac {1}{(\frac {ln29} {e^{ah}} + 29)^{3}})$ alle positiv sind, kann ein möglicher Vorzeichenwechsel nur von dem Term $\lim_{h \to 0} (\frac {1} {e^{ah}} - \frac {1} {e^{2ah}})$ abhängig sein. Dieser wird nun im folgenden betrachtet:

$\lim_{h \to 0} (\frac {1} {e^{ah}} - \frac {1} {e^{2ah}})= \lim_{h \to 0} (\frac {1} {e^{ah}} - \frac {1} {e^{(ah)^{2}}}) <0$

Der Zähler ist kleiner 0, da gilt: $e^{ah} < e^{(ah)^{2}}$; dies liegt daran, dass der Faktor $(ah)^{2}\;$ durch das Quadrat noch kleiner wird und somit der Term noch stärker gegen 0 strebt. Da jedoch nun die Kehrwerte gebildet werden, wird der Term $\frac {1} {e^{(ah)^{2}}}\;$ größer als der Term $\frac {1} {e^{(ah)}}\;$ Negativ ist der Zähler nun, da $e^{ah}\;$ gegen 1^- geht.

2. Möglichkeit: 3. Ableitung

Mit Hilfe der 3. Ableitung lässt sich sehr leicht herausfinden, ob an dem möglichen Wendepunkt auch wirklich einer vorhanden ist. Mann muss lediglich die 3. Ableitung an der Stelle des möglichen Wendepunkts bilden und schauen, ob die 3. Ableitung an dieser Stelle ungleich 0 ist. Falls dies der Fall ist, ist dies der eindeutige Beweis für die Existenz eines Wendepunkts.

Die 3. Ableitung:

$f'''_{a} (t) = 58\cdot a^{2}\cdot \frac {(29\cdot e^{at}\cdot a - e^{2at}\cdot 2a)\cdot (e^{at} + 29)^{3} - 3\cdot (e^{at} + 29)^{2} \cdot e^{at}\cdot a\cdot (29\cdot e^{at} - e^{2at})} {((e^{at} + 29)^{3})^{2}} =$

$= 58\cdot a^{2}\cdot \frac {a\cdot(29\cdot e^{at} - 2\cdot e^{2at} )\cdot (e^{at} + 29)^{3} - 3\cdot e^{at}\cdot a\cdot (e^{at} + 29)^{2} \cdot (29\cdot e^{at} - e^{2at})} {(e^{at} + 29)^{2\cdot 3}} =$

$= 58\cdot a^{3}\cdot \frac {(29\cdot e^{at} - 2\cdot e^{2at} )\cdot (e^{at} + 29)^{3} - 3\cdot e^{at}\cdot (e^{at} + 29)^{2} \cdot (29\cdot e^{at} - e^{2at})} {(e^{at} + 29)^{6}} =$

$= 58\cdot a^{3}\cdot \frac {(29\cdot e^{at} - 2\cdot e^{2at} )\cdot (e^{at} + 29) - 3\cdot e^{at}\cdot (29\cdot e^{at} - e^{2at})} {(e^{at} + 29)^{4}} =$

$= 58\cdot a^{3}\cdot \frac {29\cdot e^{at}\cdot e^{at} + 29^{2} \cdot e^{at} - 2\cdot e^{2at}\cdot e^{2at} - 2\cdot 29\cdot e^{2at} - 3\cdot 29\cdot e^{at}\cdot e^{at} + 3\cdot e^{at}\cdot e^{2at}} {(e^{at} + 29)^{4}} =$

$= 58\cdot a^{3}\cdot \frac {29\cdot e^{2at} + 29^{2} \cdot e^{at} - 2\cdot e^{4at} - 58\cdot e^{2at} - 87\cdot e^{2at} + 3\cdot e^{3at}} {(e^{at} + 29)^{4}} =$

$= 58\cdot a^{3}\cdot \frac {29^{2} \cdot e^{at} - 116\cdot e^{2at} + 3\cdot e^{3at} - 2\cdot e^{4at}} {(e^{at} + 29)^{4}}$

Möglichen Wendepunkt in die 3. Ableitung einsetzen:

$f'''_{a} (\frac {ln29} {a}) = 58\cdot a^{3}\cdot \frac {29^{2} \cdot e^{a \frac {ln29} {a}} - 116\cdot e^{2a \frac {ln29} {a}} + 3\cdot e^{3a \frac {ln29} {a}} - 2\cdot e^{4a \frac {ln29} {a}}} {(e^{a\frac {ln29} {a}} + 29)^{4}}=$

$= 58\cdot a^{3}\cdot \frac {29^{2} \cdot e^{ln29} - 116\cdot e^{2\cdot ln29} + 3\cdot e^{3\cdot ln29} - 2\cdot e^{4\cdot ln29}} {(e^{ln29} + 29)^{4}}=$

$= 58\cdot a^{3}\cdot \frac {29^{2} \cdot e^{ln29} - 116\cdot e^{ln(29)^{2}} + 3\cdot e^{ln(29)^{3}} - 2\cdot e^{ln(29)^{4}}} {(e^{ln29} + 29)^{4}}=$

$= 58\cdot a^{3}\cdot \frac {29^{2} \cdot 29 - 116\cdot 29^{2} + 3\cdot 29^{3} - 2\cdot 29^{4}} {(29 + 29)^{4}}=$

$= 58\cdot a^{3}\cdot \frac {29^{3} - 29\cdot 4\cdot 29^{2} + 3\cdot 29^{3} - 2\cdot 29^{4}} {(58)^{4}}=$

$= 58\cdot a^{3}\cdot \frac {29^{3} - 4\cdot 29^{3} + 3\cdot 29^{3} - 2\cdot 29^{4}} {(58)^{4}}=$

$= 58\cdot 29^{3} \cdot a^{3}\cdot \frac {1 - 4 + 3 - 2} {(58)^{4}}=$

$= 58\cdot 29^{3} \cdot a^{3}\cdot \frac {- 2} {(58)^{4}} \neq 0$

$\Rightarrow$ An der Stelle $t = \frac {ln29} {a}$ ist eindeutig ein Wendepunkt nachgewiesen worden, da die 3. Ableitung an dieser Stelle ungleich 0 ist.

3. Möglichkeit: Vorzeichentabelle

Die Möglichkeit des Nachweises durch die Vorzeichentabelle, ist eine vereinfachte Form der H-Methode. Sie ist deutlich zeitsparender, weshalb sie von mir in Prüfungen empfohlen wird, da somit sehr schnell und fehlerfrei nachgewiesen werden kann, ob es einen Vorzeichenwechsel an der möglichen Stelle gibt.

Man zerlegt die 2. Ableitung in seine einzelnen Faktoren und betrachtet das Verhalten vor dem möglichen Wendepunkt und nach dem möglichen Wendepunkt. Man notiert sich nun, ob es einen Vorzeichenwechsel bei einem der Faktoren gibt und schlussfolgert aus den einzelnen Vorzeichenwechsel den Vorzeichenwechsel der 2. Ableitung.

Aus der Vorzeichentabelle lässt sich nun ganz leicht erkennen, dass es an der Stelle $\frac {ln29}{a}$ einen Vorzeichenwechsel der 2. Ableitung von $+$ zu $-$ gibt. Somit ist es ein Beweis für einen Wendepunkt.

Zeichnen sie die Graphen G_0,75 und G₁ in ein und dasselbe Koordinatensystem und schlussfolgern Sie, welchen Einfluss der Parameter a auf den Verlauf der Graphen G_a hat

Der Graph