Lösung a) aa)

$y = f_{a}(t) = \frac{2\cdot e^{at}}{e^{at}+29}$, $t\in R, a\in R, a>0$

Untersuchen sie das Verhalten der Funktionen f_a für t -> $\pm \infty$ und geben sie für die Asymptoten Gleichungen an.

Verhalten gegen $+\infty$:

$\lim_{t \to \infty } f(t) = \lim_{t \to \infty } \frac{2\cdot e^{at} }{e^{at}+29 } = 2 \cdot \lim_{t \to \infty }\frac{e^{at} }{e^{at}+29 } = 2\cdot 1 = 2$

Da stets gilt a > 0, geht der Term $\lim_{t \to \infty } e^{at}$ immer gegen $+\infty$; Daraus folgt nun, dass der Term $\lim_{t \to \infty } \frac{2\cdot e^{at} }{e^{at}+29 }$ gegen 1 gehen muss, da 29 im Vergleich zu $+\infty$ verschwinden klein ist.

Verhalten gegen $-\infty$:

$\lim_{t \to - \infty } f(t) = 2\cdot \lim_{t \to -\infty } \frac{e^{at}}{e^{at}+29 } = 2\cdot \frac{0}{29} = 0$

Da stets gilt a > 0, geht der Term $\lim_{t \to - \infty } e^{at}$ immer gegen 0; Daraus folgt, dass der Zähler gegen 0 geht und der Nenner gegen 29. Wenn man nun 0 durch 29 teilt, erkennt man, dass der Grenzwert $\lim_{t \to -\infty } f(t)$ gegen 0 geht.

Gleichungen der Asymptoten:

• waagrechte Asymptote bei 0, wenn t -> $-\infty$ geht

$\Rightarrow a(x) = 0$

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• waagrechte Asymptote bei 2, wenn t -> $+\infty$ geht

$\Rightarrow b(x) = 2$