Die lineare Funktion

Geradengleichung

Ufos versenken

Zuerst einmal die wichtigste Grundlage, um mit linearen Funktionen umgehen zu können - die Geradengleichung.
Sie legt eine solche Funktion eindeutig fest.

Zum Einstieg ein kleines Spiel!
Beim Ufos versenken geht es darum dem Schützen so genau wie möglich die Daten für die Schusslinie mitzuteilen, damit dieser dann erfolgreich die feindlichen Ufos abwehren kann. Er muss zum einen wissen von welcher Position aus er schießen muss und zum andern welche Richtung er anpeilen muss.
Peile mit dem Laserpoint (rotes Kreuz) jeweils den Bug (blauer Kreis) des Ufos an und richte dann die Schusslinie so aus, dass sie auch das Heck (blaues Kreuz) genau durchläuft. Hierzu kannst du sowohl Schütze als auch Laserpoint mit der Maus verschieben.
Trage die Koordinaten anschließend auf deinem Arbeitsblatt ein und vergleiche zum Schluss deine Ergebnisse!

Hier ein Beispiel:

Schütze	Laserpoint
4	-1 / 4

Die Lage des Laserpoints gibts du mit den Koordinaten vom Schützen ausgehend an!

Das Steigungsdreieck

Du hast dem Schützen nun zwei wichtige Informationen mitgeteilt, mit deren Hilfe sich die Schusslinie - eine Gerade - aufstellen lässt.
Zuerst einmal die Steigung - Sie wird in der Mathematik mit m bezeichnet!
Indem du vom Schützen ausgehend die Lage des Laserpoints ermittelt hast, hast du nicht anderes getan, als ein sogenanntes Steigunsdreieck zu beschreiben.


Im Beispiel gehen wir vom Punkt A $\left(2|1 \right)$ aus um 2 Einheiten nach rechts,
um eine Einheit nach oben und kommen so bei Punkt B $\left( 4|2\right)$
wieder an. Daraus entsteht das rechtwinklige Steigungsdreieck, dessen Katheten einmal
den waagrechten Zuwachs, $\delta x$, und den Höhenzuwachs, $\delta y$, anzeigen.

$\delta x$ und $\delta y$ ist jeweils die Differenz aus den beiden x- bzw. y-Werten der Punkte A und B.
→ $\delta x$ = x_B - x_A = 4 - 2 = 2
→ $\delta y$ = y_B - y_A = 2 - 1 = 1

Der Quotient "Höhenzuwachs durch waagrechten Zuwachs" ergibt die Steigung m.
m = $\frac{\partial x}{\partial y}$ = $\frac{1}{2}$
Dabei ist es völlig egal bei welchem Punkt man startet bzw. wie groß das Steigungsdreieck ist,
da das Verhältnis der beiden Katheten immer das gleiche bleibt.
Nehmen wir zum Beipiel das zweite Steigungsdreieck:
m = $\frac{2}{4}$ = $\frac{1}{2}$

Die Steigung m dieser Geraden beträgt also an jeder Stelle 0,5!

Arbeitsauftrag 1: Verändere im GeoGebra-Applet am Schieberegler m ein paar mal die Steigung und versuche Aussagen über den Zusammenhang zwischen Steigung m und dem Aussehen des Graphen der Geraden zu machen! (Wie verhält sich der Graph bei kleinerem bzw. größerem Betrag von m? Was kann man bei positivem bzw. negativem m beobachten?Wie verhalten sich zwei Geraden mit der selben Steigung?)
Arbeitsauftrag 2: Versuche die Steigung unseres "Ufo-Beispiels" zu bestimmen! Zeichne dazu ein geeignetes Steigungsdreieck in die Grafik auf deinem Arbeitsblatt ein!

Steigung m: m = $\frac{\partial x}{\partial y}$ = Höhenzuwachs / waagrechten Zuwachs

Der y-Abschnitt

Die zweite wichtige Information hast du gewissermaßen mit der Lage des Schützen angegeben. Jede Gerade schneidet in einem bestimmten Punkt die y-Achse! Das kann sowohl im positiven als auch im negativen Bereich passieren. Diesen Schnittpunkt mit der y-Achse nennt man y-Abschnitt - er wird gewöhnlich mit t bezeichnet.


Im Beipiel siehst du drei verschiedene Geraden, mit dem y-Abschnitt
t_A = -1 t_B = 0.5 t_C = 3

Ein positives t verschiebt also die Gerade ein Stück nach oben (vom Ursprung ausgehend), lässt sie im positiven Bereich mit der y-Achse schneiden.
Ist t negativ, wird die Gerade nach unten verschoben.

Arbeitsauftrag 1: Zeichne auf deinem Arbeitsbaltt eine Gerade mit der Steigung m = 2 und dem y-Abschnitt t = 1 in das Koordinatensystem!
Arbeitsauftrag 2: Bestimme wieder den y-Abschnitt des "Ufo-Beispiels"!

y-Abschnitt t: Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse

Zusammenfassung

Eine Funktion der Form $f(x) = mx + t$ heißt lineare Funktion. Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade.

Eine Gerade hat die Steigung m und den y-Abschnitt t.

m = $\frac{\partial x}{\partial y}$
m > 0 → Gerade steigt
m < 0 → Gerade fällt
Je größer |m| umso steiler die Gerade!
Geraden mit gleichem m sind parallel!

t > 0 → die Gerade schneidet die y-Achse oberhalb des Ursprungs
t < 0 → die Gerade schneidet die y-Achse unterhalb des Ursprungs

m und t sind feste Zahlen, Parameter, die die Gerade eindeutig festlegen.
Im Gegensatz dazu sind x und y unbekannte Größen, Variablen.

Zusammen bilden sie die Geradengleichung
$y = m x + t$

Besondere Geraden

• Ursprungsgerade
  

Als Ursprungsgeraden werden alle diejenigen Geraden bezeichnet, die den Ursprung P $\left(0|0\right)$ durchlaufen.

Arbeitsauftrag 1: Gib an welchen y-Abschnitt eine Ursprungsgerade hat!

• Winkelhalbierende
  

Die Winkelhalbierenden im Koordinatensystem sind diejenigen Geraden, die den 1. & 3. bzw. 2. & 4. Quadranten in jeweils zwei gleichgroße Teile teilen.

Arbeitsauftrag 2: Gib den Winkel an, unter dem die Winkelhalbierende die x- bzw. y-Achse dann schneidet!

• Parallele zur x-Achse
  

Arbeitsauftrag 3: Überlege wie die Geradengleichung einer zur x-Achse parallelen Geraden lautet!

• Parallele zur y-Achse
  

Arbeitsauftrag 4: Überlege wie die Geradengleichung einer zur y-Achse parallelen Geraden lautet!