Die lineare Funktion

Kurz zur Wiederholung:

Proportionale Zuordnungen solltet ihr im Unterricht bereits besprochen haben. Eine solche Zuordnung liegt dann vor, wenn sich zwei Größen zueinander proportional verhalten. Das heißt sie steigen bzw. fallen im gleichen Verhältnis und haben somit immer einen konstanten Quotienten $q = \textstyle\frac{2.\;Gr \ddot osse}{1.\;Gr \ddot osse}$. (verdoppelt sich z.B. der Wert der x-Koordinate, so verdopplet sich auch der Wert der y-Koordinate)
Dies nennt man dann auch einen linearen Zusammenhang, den man mit einer linearen Funktion beschreiben kann. Ihr Graph ist eine Gerade.

Geradengleichung

Ufos versenken

Zuerst einmal die wichtigste Grundlage, um mit linearen Funktionen umgehen zu können - die Geradengleichung.
Sie legt eine solche Funktion eindeutig fest.

Zum Einstieg ein kleines Spiel!
Beim Ufos versenken geht es darum dem Schützen so genau wie möglich die Daten für die Schusslinie mitzuteilen, damit dieser dann erfolgreich die feindlichen Ufos abwehren kann. Er muss zum einen wissen von welcher Position aus er schießen muss und zum andern welche Richtung er anpeilen muss.
Peile mit dem Laserpoint (rotes Kreuz) jeweils den Bug (blauer Kreis) des Ufos an und richte dann die Schusslinie so aus, dass sie auch das Heck (blaues Kreuz) genau durchläuft. Hierzu kannst du sowohl Schütze als auch Laserpoint mit der Maus verschieben.
Trage die Koordinaten anschließend auf deinem Arbeitsblatt ein und vergleiche zum Schluss deine Ergebnisse!

Hier ein Beispiel...

Schütze Laserpoint 4 -1 / 4 Die Lage des Laserpoints gibst du mit den Koordinaten vom Schützen ausgehend an!

Der Schütze sagt nun: "Alles klar! Ich schlage also den Kurs y = mx + t mit m = $\textstyle-\frac{1}{4}$ und t = 4 ein!
Aber was bedeutet das? Vielleicht findest du es im Laufe des Spiels schon heraus...

Los geht´s...

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Das Steigungsdreieck

Du hast dem Schützen nun zwei wichtige Informationen mitgeteilt, mit deren Hilfe sich die Schusslinie - eine Gerade - aufstellen lässt.
Zuerst einmal die Steigung - Sie wird in der Mathematik mit m bezeichnet!
Indem du vom Schützen ausgehend die Lage des Laserpoints ermittelt hast, hast du nichts anderes getan, als ein sogenanntes Steigunsdreieck zu beschreiben.

Im nebenstehenden Beispiel gehen wir vom Punkt A (1|1) aus um 2 Einheiten nach rechts, um eine Einheit nach oben und kommen so bei Punkt B (3|2) wieder an. Daraus entsteht das rechtwinklige Steigungsdreieck, dessen Katheten einmal den waagrechten Zuwachs, $\triangle x$, und den Höhenzuwachs, $\triangle y$, anzeigen. $\triangle x$ und $\triangle y$ ist jeweils die Differenz aus den beiden x- bzw. y-Werten der Punkte A und B. → $\triangle x$ = xB - xA = 3 - 1 = 2 → $\triangle y$ = yB - yA = 2 - 1 = 1 Der Quotient "Höhenzuwachs durch waagrechten Zuwachs" ergibt die Steigung m. m = $\textstyle\frac{\triangle y}{\triangle x}$ = $\textstyle\frac{1}{2}$ Dabei ist es völlig egal bei welchem Punkt man startet bzw. wie groß das Steigungsdreieck ist, da das Verhältnis der beiden Katheten immer das gleiche bleibt. Nehmen wir zum Beipiel das zweite Steigungsdreieck: m = $\textstyle\frac{2}{4}$ = $\textstyle\frac{1}{2}$ Die Steigung m dieser Geraden beträgt also an jeder Stelle 0,5!

Arbeitsauftrag 1: Verändere im GeoGebra-Applet am Schieberegler m ein paar mal die Steigung und versuche Aussagen über den Zusammenhang zwischen Steigung m und dem Aussehen des Graphen der Geraden zu machen!
(Was kann man bei positivem bzw. negativem m beobachten? Wie verhält sich der Graph bei kleinerem bzw. größerem Betrag von m? Wie verhalten sich zwei Geraden mit der gleichen Steigung?)

Arbeitsauftrag 2: Versuche die Steigung unseres "Ufo-Beispiels" zu bestimmen! Zeichne dazu ein geeignetes Steigungsdreieck in die Grafik auf deinem Arbeitsblatt ein und beschrifte es entsprechend!

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Arbeitsauftrag 1:

• Ist die Steigung m positiv, so steigt die Gerade - d.h. ihr Graf verläuft von links unten nach rechts oben. Die Gerade fällt dagegen, wenn m negativ ist.
  
• Je kleiner der Betrag von m, desto flacher verläuft der Graf. Bei größer werdendem m wird er immer steiler.
  
• Zwei Geraden mit gleichem m, also der gleichen Steigung, sind parallel!

Arbeitsauftrag 2:

• Die Steigung im "Ufo-Beispiel" beträgt $\textstyle-\frac{1}{4}$; m $=$ $\textstyle-\frac{1}{4}$

Steigung m: m = $\frac{\triangle y}{\triangle x}$ = $\frac{H\ddot ohenzuwachs}{waagrechter\;Zuwachs}$

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Der y-Abschnitt

Die zweite wichtige Information hast du gewissermaßen mit der Lage des Schützen angegeben. Jede Gerade schneidet in einem bestimmten Punkt die y-Achse! Das kann sowohl im positiven als auch im negativen Bereich passieren. Diesen Schnittpunkt mit der y-Achse nennt man y-Abschnitt - er wird gewöhnlich mit t bezeichnet.

Im Beipiel siehst du drei verschiedene Geraden, mit dem y-Abschnitt tA = -1 tB = 0.5 tC = 2 Ein positives t verschiebt also die Gerade ein Stück nach oben (vom Ursprung ausgehend), - es lässt sie im positiven Bereich mit der y-Achse schneiden. Ist t negativ, wird die Gerade nach unten verschoben.

Arbeitsauftrag 1: Zeichne auf deinem Arbeitsbaltt eine Gerade mit der Steigung m = 2 und dem y-Abschnitt t = 1 in das Koordinatensystem!

Arbeitsauftrag 2: Bestimme wieder den y-Abschnitt des "Ufo-Beispiels"!

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Arbeitsauftrag 1:

Arbeitsauftrag 2:

• Der y-Abschnitt t im "Ufo-Beispiel" liegt bei 4; t $=$ 4

y-Abschnitt t: Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse

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Besondere Geraden

• Ursprungsgerade
  

Als Ursprungsgeraden werden alle diejenigen Geraden bezeichnet, die den Ursprung P (0|0) durchlaufen.

Arbeitsauftrag 1: Gib an welchen y-Abschnitt eine Ursprungsgerade hat!

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Arbeitsauftrag 1:

• Der y-Abschnitt einer Ursprungsgerade lautet immer t $=$ 0, da die Gerade die y-Achse im Punkt P (0$|$0) schneidet. Ihre Geradengleichung sieht also folgendermaßen aus: y$=$ mx; m kann beliebig gewählt werden, t muss 0 sein!

• Winkelhalbierende
  

Die Winkelhalbierenden im Koordinatensystem sind diejenigen Geraden, die den 1. & 3. bzw. 2. & 4. Quadranten in jeweils zwei gleichgroße Teile teilen.

Arbeitsauftrag 2: Gib den Winkel an, unter dem die Winkelhalbierende die x- bzw. y-Achse dann schneidet!

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Arbeitsauftrag 2:

• Das lässt sich leicht erkennen, da die beiden Koordinatenachsen immer senkrecht aufeinander stehen, d.h. zwischen ihnen liegt ein Winkel von 90°. Die Winkelhalbierende, die dieses Winkelfeld genau teilt, schließt also mit beiden Koordinatenachsen jeweils einen Winkel von 45° ein!

• Parallele zur x-Achse
  

Arbeitsauftrag 3: Überlege wie die Geradengleichung einer zur x-Achse parallelen Geraden lautet!

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Arbeitsauftrag 3:

• Die Geradengleichung für Parallele zur x-Achse lautet y$=$ t. Da eine zur x-Achse parallele Gerade weder steigt noch fällt, sondern einfach waagrecht verläuft, gilt: m $=$ 0.
  Somit fällt in der Gleichung auch das mit 0 multiplizierte x weg; t ist beliebig!

Zusammenfassung

Eine Funktion der Form f(x) = mx + t heißt lineare Funktion. Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade.

Eine Gerade hat die Steigung m und den y-Abschnitt t.

m =$\textstyle\frac{\triangle y}{\triangle x}$
m > 0 → Gerade steigt
m < 0 → Gerade fällt
Je größer |m| umso steiler die Gerade!
Geraden mit gleichem m sind parallel!

t > 0 → die Gerade schneidet die y-Achse oberhalb des Ursprungs
t < 0 → die Gerade schneidet die y-Achse unterhalb des Ursprungs

m und t sind feste Zahlen, Parameter, die die Gerade eindeutig festlegen.
Im Gegensatz dazu sind x und y unbekannte Größen, Variablen.

Zusammen bilden sie die Geradengleichung
y = m x + t

Oft wird von f(x) = mx + t die Rede sein. Diese Form ist gleichbedeutend mit y = mx + t,
da die Geradengleichung einfach eine besondere Form der Funktionsgleichung ist!

Aufgaben

1. Lies aus den folgenden Geradengleichungen sowohl die Steigung als auch den y-Abschnitt ab!

a) y = 2x - 4
b) y = $\textstyle\frac{1}{3}$ x + 2
c) y = -$\textstyle\frac{2}{5}$ x + 1
d) y = 3x - 0,5
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a) m $=$ 2; t $=$ -4
b) m $=$ $\textstyle\frac{1}{3}$; t $=$ 2
c) m $=$ -$\textstyle\frac{2}{5}$; t $=$ 1
d) m $=$ 3; t $=$ -0,5

2. Zeichne die Graphen der folgenden Geraden!
a) y = -x
b) y = -2
c) y = $\textstyle\frac{1}{2}$ x - 1
d) y = -1,5x + 2
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3. Ordne den dargestellten Geraden jeweils eine Geradengleichung zu!

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a) y $=$ x + 3
b) y $=$ -2x + 1
c) y $=$ $\textstyle\frac{1}{2}$x - 1,5

4. Sind die folgenden Funktionen linear? Begründe jeweils deine Entscheidung!

a) f(x) = 23 - 15x
b) f(x) = 2x² - 4
c) f(x) = 3x + 0,5x
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a) f(x) $=$ -15x + 23; so umgestellt erkennt man leicht die Geradengleichung. Die Funktion ist also linear!
b) Die Funktion ist nicht linear, da der x-Wert und er Funktionswert sich nicht im gleichen Verhältnis verändern! (Beispiel: f(2) $=$ 4; f(4) $=$ 28 → der x-Wert wird verdoppelt, während der Funktionswert, also y, nun 7mal so groß ist)
c) f(x) $=$ 3,5x; so vereinfacht ist auch diese Funktionsgleichung eine Geradengleichung. Die Funktion ist linear!

5. Gib zu den in Worten genannten Vorschriften jeweils eine Funktionsgleichung an!

a) Jedem x wird das Doppelte zugeordnet.
b) Jedem x wird das um 3 verminderte Vierfache zugeordnet.
c) Jedem x wird das um 2 vergrößerte Dreifache zugeordnet.
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a) f(x) $=$ 2x
b) f(x) $=$ 4x - 3
c) f(x) $=$ 3x + 2

6. Zeichne die Graphen der abschnittsweise defienierten Funktion! Grundwissensübersicht

a) f(x) = $\begin{cases} 1,5x-1, & \mbox{wenn }x\mbox{ kleiner 4} \\ 5, & \mbox{wenn }x\mbox{ groesser 4} \end{cases}$
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7. Das Badewaser eines kleinen Gartenswimmingpools wird mit einer Gartenpumpe gleichmäßig eingelassen. Der vollständig befüllte Gartenpool fasst eine Wassermenge von 40 m³.

a) Beschreibe mit eigenen Worten das dargestellte Diagramm!
b) Wie groß ist die Wassermenge, die innerhalb einer Stunde zugeführt wird?
c) Gib eine Funktionsgleichung zum Graphen an!
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a) Das Diagramm stellt die zugeführte Wassermenge in m³ in Abhängigkeit der Pumpzeit in min dar. Es handelt sich um einen linearen Zusammenhang, da der Graph der Funktion eine Gerade ist.
b) In einer Stunde werden 3,6 m³ Wasser zugeführt. Am einfachsten betrachtet man hierzu die Wassermenge bei 500 min: $\textstyle\frac{30}{500}$ · 60 $=$ 3,6
c) f(x) $=$ 0,06x. Stellt man sich ein Steigungsdreieck vor, so kommt man schnell auf den Wert von m. t ist natürlich null, da es sich um ein Ursprungsgerade handelt.