2006 I

Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2006 Infinitesimalrechnung I Download der Originalaufgaben: Abitur 2006 LK Mathematik Bayern - Lösung gesamt Erarbeitet von Lukas Baumüller, Florian Wilk

Aufgabe 1 Gegeben ist die Funktion f: x→(x-1)$\cdot$lnx mit der Definitionsmenge D=$\mathbb{R}$+. Der Graph von f wird mit Gf bezeichnet. Hinweis: $\lim_{x\to 0+} (x^n \cdot lnx)=0$ für n $\in \mathbb{N}$ , darf ohne Beweis verwendet werden. a) Geben Sie die Nullstelle von f an und untersuchen Sie das Verhalten von f an den Rändern der Definitionsmenge. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 3 BE b) Weisen Sie nach, dass Gf an der Stelle x=1 einen Punkt mit waagrechter Tangente besitzt. Bestimmen Sie das Monotonieverhalten von f. [Zur Kontrolle: $f'(x)=lnx+1-{1 \over x}$] [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 5 BE c) Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten von Gf . Berechnen Sie f(3) und skizzieren Sie Gf aufgrund der bisherigen Ergebnisse. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 5 BE d) Begründen Sie, dass f im Intervall ]0;1] umkehrbar ist. Geben Sie Definitions- und Wertemenge der zugehörigen Umkehrfunktion g an. Bestimmen Sie $\lim_{x\to0+}g'(x)$ . [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 4 BE e) Gf und die Koordinatenachsen begrenzen für x$\le$1 ein Flächenstück, das sich ins Unendliche erstreckt. Zeigen Sie, dass dieses Flächenstück den endlichen Inhalt 0,75 hat. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 8 BE

Aufgabe 2 Aus rechteckigen Kunststoffplatten von 1 Meter Breite und 2 Meter Höhe wurden Stücke abgeschnitten, wobei die Schnittkurve pt Teil einer Parabel ist, die der Gleichung y=tx2+2-t genügt. Für den Parameter t gilt: $0<t\le2$ . In nebenstehender Skizze ist der Fall t=1,6 dargestellt. a) Zeigen Sie, dass jede Schnittkurve pt durch den Punkt (1/2) verläuft. Beschreiben Sie die Bewegung des Parabelscheitels, wenn t bei 2 beginnend alle Werte des Intervalls ]0;2] durchläuft. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 3 BE Aus der Restplatte werden Rechtecke – wie in der Skizze schraffiert dargestellt – ausgeschnitten. Je eine Seite des Rechtecks soll auf dem unteren bzw. auf dem rechten Rand der Platte zu liegen kommen, eine Ecke des Rechtecks soll auf der Schnittkurve liegen. b) Zeigen Sie, dass für den Inhalt eines solchen Rechtecks gilt At(x)=-tx3+tx2+(t-2)x+2-t    (0$\le$x$\le$1). [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 3 BE Der Inhalt des ausgeschnittenen Rechtecks soll möglichst groß sein (Extremwertproblem). c) Die unten stehende Abbildung zeigt einige Graphen der Scharfunktionen At . Beschreiben Sie, was aufgrund der Abbildung im Fall 0<t<1,5 für die Lösung des Extremwertproblems zu vermuten ist. Beweisen Sie Ihre Vermutung rechnerisch. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 6 BE d) Im Fall t=1,6 ist die erste Ableitung von At an den Stellen $x_1={1 \over 6}$ und $x_2={1 \over 2}$ gleich Null (Nachweis nicht erforderlich). Bestätigen Sie durch Berechnung geeigneter Werte von At , dass für t=1,6 zwei Rechtecke den maximalen Flächeninhalt aufweisen. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 3 BE