Lösung a)

$y = f_{a}(t) = \frac{2\cdot e^{at}}{e^{at}+29},$ $t\in R, a\in R, a>0$

Untersuchen sie das Verhalten der Funktionen f_a für t -> $\pm \infty$ und geben sie für die Asymptoten Gleichungen an.

Um das Verhalten gegen gegen $\pm \infty$ zu betrachten, muss man mit Hilfe des Limes einen Grenzwert bilden. Hierbei muss man lediglich die Variable t gegen $\pm \infty$ laufen lassen und sich dann überlegen, welche Funktion stärker überwiegt und gegen welchen Wert die Funktion dann letztlich strebt.

Verhalten gegen $+\infty$:
$\lim_{t \to \infty } f(t) = \lim_{t \to \infty } \frac{2\cdot e^{at} }{e^{at}+29 } = 2 \cdot \lim_{t \to \infty }\frac{e^{at} }{e^{at}+29 } = 2\cdot 1 = 2$

Da stets gilt a > 0, geht der Term $\lim_{t \to \infty } e^{at}$ immer gegen $+\infty$; Daraus folgt nun, dass der Term $\lim_{t \to \infty } \frac{2\cdot e^{at} }{e^{at}+29 }$ gegen 1 gehen muss, da 29 im Vergleich zu $+\infty$ vernachlässigbar klein ist.

Verhalten gegen $-\infty$:
$\lim_{t \to - \infty } f(t) = 2\cdot \lim_{t \to -\infty } \frac{e^{at}}{e^{at}+29 } = 2\cdot \frac{0}{29} = 0$

Da stets gilt a > 0, geht der Term $\lim_{t \to - \infty } e^{at}$ immer gegen 0; Daraus folgt, dass der Zähler gegen 0 geht und der Nenner gegen 29. Wenn man nun 0 durch 29 teilt, erkennt man, dass der Grenzwert $\lim_{t \to -\infty } f(t)$ gegen 0 geht.

Gleichungen der Asymptoten:

• waagrechte Asymptote bei 0, wenn t -> $-\infty$ geht

$\Rightarrow a(x) = 0$

• waagrechte Asymptote bei 2, wenn t -> $+\infty$ geht

$\Rightarrow b(x) = 2$

Zeigen Sie, dass alle Funktionen f_a monoton steigend sind

$f'_{a} (t) = \frac{2\cdot a\cdot e^{at}\cdot (e^{at} + 29) - 2\cdot e^{at}\cdot a\cdot e^{at} }{(e^{at}+29) ^{2} } = 2\cdot a\cdot \frac{(e^{at}) ^{2} + 29\cdot e^{at} - (e^{at}) ^{2} }{(e^{at}+29) ^{2}} = \frac{58\cdot a\cdot e^{at} }{(e^{at}+29) ^{2}}$

Suche nach möglichem Extrempunkt; falls kein Extrempunkt vorhanden ist, zeigt dies, dass die Funktion monoton steigend oder fallend sein muss.

$f'_{a}(t) = 0 \Rightarrow 58\cdot a\cdot e^{at} = 0 \Rightarrow e^{at} = 0\;\;\;\;\;\;(f)$

Da die e-Fkt. nie 0 werden kann, sondern dieser sich immer nur annähert, gibt es keine mögliche Stelle für einen Extrempunkt. Somit lässt sich folgern, dass die Funktion entweder streng monoton steigend oder fallend ist.

Beweis dafür, dass die Funktion streng monoton steigend ist:

Da man nun weiß, dass es keinen Extrempunkt gibt, an der sich das Monotonieverhalten ändern kann, lässt sich sehr leicht aus den Grenzwerten gegen $\pm \infty$ erkennnen, dass der Verlauf des Graphen stets steigend ist.

Der Grenzwert t ->$- \infty$ geht gegen 0
Der Grenzwert t ->$\infty$ geht gegen 2

Anhand dieser Grenzwerte und dem fehlenden Extrempunkt geht deutlich hervor, dass die Funktion einen streng monoton steigenden Verlauf nimmt, der sich 0 und 2 annähert

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