Übungen zu Kehrsatz

Hole dir das Übungsblatt zum Kehrsatz zum Satz des Pythagoras und zur Diagonalenberechnung

Aufgabe 1

a) [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

• h ist die längste Seite, also müsste sie auch die Hypotenuse sein
• Satz des Pythagoras ansetzen
• ${h^2=i^2+k^2\,}$
• ${(2,5cm)^2=(1,5cm)^2+(2cm)^2\,}$
• ${6,25cm^2=6,25cm^2\,}$
• Der Satz des Pythagoras ist erfüllt
• Das Dreieck ist also rechtwinklig

b) [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

• k ist die längste Seite, also müsste sie auch die Hypotenuse sein
• Satz des Pythagoras ansetzen
• ${k^2=i^2+h^2\,}$
• ${(1,7cm)^2=(0,95cm)^2+(1,5cm)^2\,}$
• ${2,89cm^2=3,1525cm^2\,}$
• Der Satz des Pythagoras ist nicht erfüllt, da die Gleichung einen Widerspruch ergibt
• Das Dreieck ist also nicht rechtwinklig

c) [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

• i ist die längste Seite, also müsste sie auch die Hypotenuse sein
• Satz des Pythagoras ansetzen
• ${i^2=h^2+k^2\,}$
• ${(4,3cm)^2=(2,6cm)^2+(1,8cm)^2\,}$
• ${18,49cm^2=10cm^2\,}$
• Der Satz des Pythagoras ist nicht erfüllt, da die Gleichung einen Widerspruch ergibt
• Das Dreieck ist also nicht rechtwinklig

d) [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

• i ist die längste Seite, also müsste sie auch die Hypotenuse sein
• Satz des Pythagoras ansetzen
• ${i^2=h^2+k^2\,}$
• ${(3cm)^2=(2,4cm)^2+(1,8cm)^2\,}$
• ${9cm^2=9cm^2\,}$
• Der Satz des Pythagoras ist erfüllt
• Das Dreieck ist also rechtwinklig

Aufgabe 2

a) [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

• Um den Satz des Pythagoras zu testen, muss man zunächst die Länge der fehlenden Seiten berechnen
• Das Dreieck lässt sich in zwei kleinere rechtwinklige Dreiecke zerlegen
• In diesen rechtwinkligen Dreiecken darf man den Satz des Pythagoras ansetzen
• ${c^2=h_c^2+s^2\,}$
• $c=\sqrt{h_c^2+s^2}$
• $c=\sqrt{(8cm)^2+(4cm)^2}=\sqrt{80}cm \approx 8,94cm$
  
  

• ${a^2=h_c^2+t^2\,}$
• ${t^2=a^2-h_c^2\,}$
• $t=\sqrt{a^2-h_c^2}$
• $t=\sqrt{(8cm)^2-(\sqrt{320}cm)^2}=\sqrt{384}cm \approx 19,60cm$
  
  

• ${b=s+t=4cm+19,60cm=23,60cm\,}$
  
  

• Da man nun alle Seiten kennt, kann man den Satz des Pythagoras für das Dreieck $\triangle{ABC}$ ansetzen
• b ist die längste Seite, also müsste sie die Hypotenuse sein
• ${b^2=a^2+c^2\,}$
• ${(23,60cm)^2=(\sqrt{320}cm)^2+(8,94cm)^2\,}$
• ${556,96cm^2=399,9236cm^2\,}$
• Der Satz des Pythagoras ergibt einen Widerspruch
• Das Dreieck $\triangle{ABC}$ ist also nicht rechtwinklig

b) [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

• Um den Satz des Pythagoras zu testen, muss man zunächst die Länge der fehlenden Seiten berechnen
• Das Dreieck lässt sich in zwei kleinere rechtwinklige Dreiecke zerlegen
• In diesen rechtwinkligen Dreiecken darf man den Satz des Pythagoras ansetzen
• ${a^2=h_c^2+t^2\,}$
• $a=\sqrt{h_c^2+t^2}$
• $a=\sqrt{(\sqrt{19}cm)^2+(1cm)^2}=\sqrt{20}cm \approx 4,47cm$
  
  

• ${b^2=h_c^2+s^2\,}$
• ${s^2=b^2-h_c^2\,}$
• $s=\sqrt{b^2-h_c^2}$
• $t=\sqrt{(\sqrt{380}cm)^2-(\sqrt{19}cm)^2}=\sqrt{361}cm=19cm$
  
  

• ${c=s+t=19cm+1cm=20cm\,}$
  
  

• Da man nun alle Seiten kennt, kann man den Satz des Pythagoras für das Dreieck $\triangle{ABC}$ ansetzen
• c ist die längste Seite, also müsste sie die Hypotenuse sein
• ${c^2=a^2+b^2\,}$
• $(20cm)^2=(\sqrt{20}cm)^2+(\sqrt{380}cm)^2$
• ${400cm^2=400cm^2\,}$
• Der Satz des Pythagoras ergibt eine wahre Aussage
• Das Dreieck $\triangle{ABC}$ ist also rechtwinklig

Aufgabe 3

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

• Um die Diagonale zu berechnen betrachtet man das rechtwinklige Dreieck $\triangle{BDH}$
• Die Strecke ${[BD]\,}$ ist noch unbekannt und man muss sie berechnen
• Hierfür betrachtet man das rechtwinklige Dreieck $\triangle{ABD}$
• Man setzt den Satz des Pythagoras an
• $(\overline{BD})^2=(\overline{AB})^2+(\overline{AD})^2$
• $(\overline{BD})^2=a^2+b^2$
• $\overline{BD}=\sqrt{a^2+b^2}$
• $\overline{BD}=\sqrt{(5cm)^2+(9cm)^2}=\sqrt{106}cm \approx 10,30cm$
  
  

• Damit kann man den Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck $\triangle{BDH}$ anwenden
• $d^2=(\overline{BD})^2+(\overline{DH})^2$
• $d^2=(\overline{BD})^2+h^2$
• $d=\sqrt{(\overline{BD})^2+h^2}$
• $d=\sqrt{(10,3cm)^2+(12cm)^2}=\sqrt{250,09}cm \approx 15,81cm$
• Die Raumdiagonale d ist also etwa 15,81cm lang