Lösung d)

Durch die Funktion $f_{0,04}\;$ für $0\leq t\leq 200$ (t in Tagen) kann das Wachstum von Sonnenblumen beschrieben werden, wobei $f_{0,04} (t)\;$ die Höhe (in m) der Pflanzen zur Zeit t bedeutet.

$f_{0,04} (t) = \frac {2\cdot e^{0,04t}} {e^{0,04t} + 29}\;\;\;\;\;\;0\leq t\leq 200$

Berechnen Sie die Höhe einer Sonnenblumenpflanze nach 10, 50 und 150 Tagen

Da der Graph der Funktion das Wachstum einer Sonnenblumenpflanze in m beschreibt, wobei die Variable t die Zeit darstellt, muss man lediglich t in die Gleichung einsetzen und erfährt die Höhe in m nach der verstrichenen Zeit t.

Höhe nach 10 Tagen:

$f_{0,04} (10) = \frac {2\cdot e^{0,04\cdot 10}} {e^{0,04\cdot 10} + 29} m = \frac {2\cdot e^{0,4}} {e^{0,4} + 29} m = 0,098m = 9,8cm$

Höhe nach 50 Tagen:

$f_{0,04} (50) = \frac {2\cdot e^{0,04\cdot 50}} {e^{0,04\cdot 50} + 29} m = \frac {2\cdot e^{2}} {e^{2} + 29} m = 0,406m = 40,6cm$

Höhe nach 150 Tagen:

$f_{0,04} (150) = \frac {2\cdot e^{0,04\cdot 150}} {e^{0,04\cdot 150} + 29} m = \frac {2\cdot e^{6}} {e^{6} + 29} m = 1,866m = 186,6cm$

Berechnen Sie, wann die Wachstumsgeschwindigkeit einer Sonnenblumenpflanze am größten ist

• Die Funktion $f_{0,04} (t)\;$ beschreibt die Höhe der Sonnenblumenpflanze in Abhängigkeit der Zeit t (hier rot zu erkennen)

• Die 1. Ableitung der Funktion $f'_{0,04} (t)\;$ beschreibt die Wachstumsgeschwindigkeit in Abhängigkeit der Zeit t (hier blau zu erkennen)

Wenn die Steigung der 1. Ableitung gleich 0 ist, ist die Wachstumsgeschwindigkeit am größten.

Daraus folgt die Bedingung: $f''_{0,04} (t) = 0\;$

Dies gilt für den Wendepunkt, der bereits in Teilaufgabe b) berechnet und liegt bei $t = \frac {ln29} {0,04} = 84,2$