Lösung b)

$y = f_{a}(t) = \frac{2\cdot e^{at}}{e^{at}+29}$, $t\in R, a\in R, a>0$

$f'_{a} (t) = \frac{58\cdot a\cdot e^{at} }{(e^{at}+29) ^{2}}$

Untersuchen sie die Funktionen f_a auf Nullstellen und lokale Extremstellen

Suche nach Nullstellen:

$f_{a}(t) = \frac{2\cdot e^{at}}{e^{at}+29} = 0 \Rightarrow 2\cdot e^{at} = 0$ $\Rightarrow e^{at} = 0 (f)$

$\Rightarrow$ keine Nullstellen, da die e-Funktion nie 0 wird und somit der Ausdruck $e^{at}\;$ ebenfalls nie 0 werden kann

Suche nach Extremstellen:

$f'_{a} (t) = \frac{58\cdot a\cdot e^{at} }{(e^{at}+29) ^{2}} = 0 \Rightarrow 58\cdot a \cdot e^{at} = 0 \Rightarrow e^{at} = 0 (f)$

$\Rightarrow$ keine Extremstellen, da die e-Funktion nie 0 wird und somit der Ausdruck $e^{at}\;$ ebenfalls nie 0 werden kann

Jeder Graph G_a bestitzt genau einen Wendepunkt W_a. Zeigen sie, dass die Wendepunkte W_a auf einer parallelen zur t-Achse liegen

Die 2. Ableitung:

$f''_{a}(t) = \frac{58\cdot a \cdot e^{at}\cdot a\cdot(e^{at}+29)^{2} - 2 \cdot(e^{at} + 29)\cdot e^{at}\cdot a \cdot 58 \cdot a \cdot e^{at} }{(e^{at} + 29) ^{4} } =$
$= \frac{58\cdot a^{2} \cdot e^{at}\cdot (e^{at} + 29) - 2\cdot a^{2} \cdot (e^{at})^{2}\cdot 58 }{(e^{at}+29)^{3}} = 58\cdot a^{2}\cdot \frac{(e^{at})^{2} + 29\cdot e^{at} - 2(e^{at})^2}{(e^{at} + 29)^{3}} = 58\cdot a^{2} \cdot \frac {29\cdot e^{at} - e^{2at}}{(e^{at}+29)^{3}}$

Suche nach dem Wendepunkt:

$f''_{a}(t) = 58\cdot a^{2} \cdot \frac {29\cdot e^{at} - e^{2at}}{(e^{at}+29)^{3}} = 0$

$58\cdot a^{2} (29\cdot e^{at} - e^{2at}) = 0$                              $| : 58\cdot a^{2} \Rightarrow (a \neq 0)$
       $(29\cdot e^{at} - e^{2at}) = 0$                              $| + e^{2at}\;$  
               $29 \cdot e^{at} = e^{2at}$                            $| ln\;$
           $ln(29\cdot e^{at}) = ln(e^{2at})$
      $ln(29) + ln(e^{at}) = ln(e^{2at})\;$                       $| - ln(e^{at})\;$
                $ln(29) = ln(e^{2at}) - ln(e^{at})\;$
                $ln(29) = 2\cdot a\cdot t \cdot ln(e) - a\cdot t\cdot ln(e)$    (ln(e)=1)
                $ln(29) = 2\cdot a\cdot t - a\cdot t$
                $ln(29) = a\cdot t$
                      $t = \frac {ln29} {a}$

Beweis für Wendepunkt:

1. Möglichkeit: Die H-Methode

Man nähert sich dem möglichen Wendepunkt mit Hilfe eines Grenzwertes an und versucht herauszufinden, ob ein Vorzeichenwechsel am Wendepunkt stattfindet. Falls es einen Vorzeichenwechsel geben sollte, ist dies der eindeutige Beweis für einen Wendepunkt an dieser Stelle.

1. Teil: $f''_{a}(\frac {ln29} {a}+h)$

$f''_{a}(\frac {ln29} {a}+h) = \lim_{h \to 0} 58\cdot a^{2}\cdot \frac {29\cdot e^{a\cdot(\frac {ln29} {a}+h)} - e^{2a\cdot(\frac {ln29} {a}+h)}}{(e^{a\cdot (\frac {ln29} {a}+h)}+29)^{3}} = 58\cdot a^{2}\lim_{h \to 0} \frac {29\cdot e^{(\frac {a\cdot ln29} {a} + ah)} - e^{(\frac {2a\cdot ln29} {a} + 2ah)}}{(e^{(\frac {a\cdot ln29} {a} + ah)} + 29)^{3}} =$
$= 58\cdot a^{2}\lim_{h \to 0} \frac {29\cdot e^{(ln29 + ah)} - e^{(2\cdot ln29 + 2ah)}}{(e^{(ln29 + ah)} + 29)^{3}}= 58\cdot a^{2}\lim_{h \to 0} \frac {e^{ln29}\cdot e^{ah} - e^{ln(29^{2})}\cdot e^{2ah}}{(e^{ln29}\cdot e^{ah} + 29)^{3}}=$
$= 58\cdot a^{2}\lim_{h \to 0} \frac {29\cdot 29\cdot e^{ah} - 29\cdot 29\cdot e^{2ah}}{(ln29\cdot e^{ah} + 29)^{3}}= 58\cdot 29^{2}\cdot a^{2}\lim_{h \to 0} \frac {e^{ah} - e^{2ah}}{(ln29\cdot e^{ah} + 29)^{3}}=$
$= 58\cdot 29^{2}\cdot a^{2}\lim_{h \to 0} (\frac {1}{(ln29\cdot e^{ah} + 29)^{3}}) \lim_{h \to 0} (e^{ah} - e^{2ah})$

Da die Faktoren $58\cdot 29^{2}\cdot a^{2}\lim_{h \to 0} (\frac {1}{(ln29\cdot e^{ah} + 29)^{3}})$ alle positiv sind, kann ein möglicher Vorzeichenwechsel nur von dem Term $\lim_{h \to 0} (e^{ah} - e^{2ah})$ abhängig sein. Dieser wird nun im folgenden betrachtet.

$\lim_{h \to 0} (e^{ah} - e^{2ah})= \lim_{h \to 0} (e^{ah} - e^{(ah)^{2}}) >0$

Der Zähler ist größer 0, da gilt: $e^{ah} > e^{(ah)^{2}}$; dies liegt daran, dass der Faktor $(ah)^{2}\;$ durch das Quadrat noch kleiner wird und somit der Term noch stärker gegen 0 strebt. Positiv ist der Zähler nun, da $e^{ah}\;$ gegen 1⁺ geht.

$\Rightarrow f''_{a}(\frac {ln29} {a}+h) > 0$

2. Teil: $f''_{a}(\frac {ln29} {a}-h)$

$f''_{a}(\frac {ln29} {a}+h) = \lim_{h \to 0} 58\cdot a^{2}\cdot \frac {29\cdot e^{a\cdot(\frac {ln29} {a}+h)} - e^{2a\cdot(\frac {ln29} {a}+h)}}{(e^{a\cdot (\frac {ln29} {a}+h)}+29)^{3}} = 58\cdot a^{2}\lim_{h \to 0} \frac {29\cdot e^{(\frac {a\cdot ln29} {a} + ah)} - e^{(\frac {2a\cdot ln29} {a} + 2ah)}}{(e^{(\frac {a\cdot ln29} {a} + ah)} + 29)^{3}} =$
$= 58\cdot a^{2}\lim_{h \to 0} \frac {29\cdot e^{(ln29 + ah)} - e^{(2\cdot ln29 + 2ah)}}{(e^{(ln29 + ah)} + 29)^{3}}= 58\cdot a^{2}\lim_{h \to 0} \frac {e^{ln29}\cdot e^{ah} - e^{ln(29^{2})}\cdot e^{2ah}}{(e^{ln29}\cdot e^{ah} + 29)^{3}}=$
$= 58\cdot a^{2}\lim_{h \to 0} \frac {29\cdot 29\cdot e^{ah} - 29\cdot 29\cdot e^{2ah}}{(ln29\cdot e^{ah} + 29)^{3}}= 58\cdot 29^{2}\cdot a^{2}\lim_{h \to 0} \frac {e^{ah} - e^{2ah}}{(ln29\cdot e^{ah} + 29)^{3}}=$
$= 58\cdot 29^{2}\cdot a^{2}\lim_{h \to 0} (\frac {1}{(ln29\cdot e^{ah} + 29)^{3}}) \lim_{h \to 0} (e^{ah} - e^{2ah})$

Zeichnen sie die Graphen G_0,75 und G₁ in ein und dasselbe Koordinatensystem und schlussfolgern Sie, welchen Einfluss der Parameter a auf den Verlauf der Graphen G_a hat

Der Graph