Lösung: Wendepunkte

$y = f_a (x) = ( x - a )\cdot e^{a+2-x}$ mit $x\in R$ ; $a\in R$

Wendepunkte

Zweite Ableitung: siehe Überprüfung des Extrempunkts; 2. Möglichkeit

$f_a^{''} (x) = e^{a+2-x}\cdot ( x - a - 2 )$

Um mögl. Wendepunkte zu bestimmen benötigt man die zweite Ableitung.

Mögl. Wendepunkte tretten für $f_a^{''} (x) = 0\;$ auf.

$f_a^{''} (x) = 0\;$

$e^{a+2-x}\cdot ( x - a - 2 ) = 0    \;\;\;\;\;\; | \; e^{a+2-x} > 0$

   $\rightarrow \; ( x - a - 2 ) = 0 \;\;\;\;\;\; | \;  + 2 ; + a$

               $x = a + 2\;$

Möglicher Wendepunkt bei $x = a + 2 \;$

$f_a ( a + 2 ) = ( a + 2 - a )\cdot e^{a+2-(a + 2 )}$

                      $= 2\cdot e^{a+2-a - 2 )}$

                      $= 2\cdot e^0$

                      $= 2\;$

$\rightarrow$ mög. WP $\; ( a + 2 / 2 )$

Überprüfung des Wendepunkts

1. Möglichkeit

H-Methode , VZW des Krümmungsverhaltens

$f_a^{''} ( a + 2  - h ) = e^{a + 2 - (a + 2 - h )}\cdot ( a + 2 - h - a - 2 )$

                                          $= e^{a + 2 - a- 2 + h }\cdot (- h)$

                                          $= e^{h }\cdot ( -h )$

                                          $= -h\cdot e^{h }$

                                          lim h --> 0 ............

$f_a^{''} ( a + 2 +  h ) = e^{a + 2 - (a + 2 + h )}\cdot ( a + 2 + h - a - 2 )$

                                          $= e^{a + 2 - a- 2 - h }\cdot (+ h)$

                                          $= e^{-h }\cdot ( +h )$

                                          $= +h\cdot e^{-h }$

                                          lim h --> 0 ............

$\rightarrow$ VZW bei $x = a + 2\;$
$\rightarrow$ Wendepunkt bei $\;( a + 2 / 2 )$

zur Verdeutlichung

Krümmungsverhalten

	x<2+a		x=2+a		x>2+a
ea + 2 - x		+		+
( x - a - 2 )		-		+
fa ( x )		-		+

$\rightarrow$ WP $( a + 2 / 2 )\;$

2. Möglichkeit

Verwendung der dritten Ableitung

$f_a (x) = e^{a+2-x}\cdot ( x - a)$

$f_a^{'} (x) = e^{a+2-x}\cdot ( 1+a-x )$

$f_a^{''} (x) = e^{a+2-x}\cdot ( x - a - 2 )$

Um die dritte Ableitung zu bekommen muss man hier die Produktregel verwenden. [Hilfe zur Produktregel]

$f_a^{'''} (x) = e^{a+2-x}\cdot ( x - a - 2 )\cdot (-1) + 1\cdot e^{a+2-x}$

                               $= e^{a+2-x}\cdot ( a + 2 - x + 1 )$
                               $= ( a + 3 - x )\cdot e^{a+2-x}$

Wenn die dritte Ableitung am möglichen Wendepunkt ungleich Null ist, liegt ein Wendepunkt vor.

$f_a^{'''} ( a + 2 ) = ( a + 3 - ( a + 2 ))\cdot e^{a + 2 - ( a + 2 )}$

                                     $= ( a + 3 - a - 2 ) \cdot e^{a + 2 -  a - 2 }$
                                     $= 1\cdot e^{0}$
                                     $= 1\;$ 
                                     $> 0\;$

$\rightarrow$ WP $( a + 2 / 2 )$