Lösung b)

$y = f_{a}(t) = \frac{2\cdot e^{at}}{e^{at}+29}$, $t\in R, a\in R, a>0$

$f'_{a} (t) = \frac{58\cdot a\cdot e^{at} }{(e^{at}+29) ^{2}}$

Untersuchen sie die Funktionen f_a auf Nullstellen und lokale Extremstellen

Suche nach Nullstellen:

$f_{a}(t) = \frac{2\cdot e^{at}}{e^{at}+29} = 0 \Rightarrow 2\cdot e^{at} = 0$ $\Rightarrow e^{at} = 0 (f)$

$\Rightarrow$ keine Nullstellen, da die e-Fkt. nie 0 wird und somit der Ausdruck $e^{at}$ ebenfalls nie 0 werden kann

Suche nach Extremstellen:

$f'_{a} (t) = \frac{58\cdot a\cdot e^{at} }{(e^{at}+29) ^{2}} = 0 \Rightarrow 58\cdot a \cdot e^{at} = 0 \Rightarrow e^{at} = 0 (f)$

$\Rightarrow$ keine Extremstellen, da die e-Fkt. nie 0 wird und somit der Ausdruck $e^{at}$ ebenfalls nie 0 werden kann

Jeder Graph G_a bestitzt genau einen Wendepunkt W_a. Zeigen sie, dass die Wendepunkte W_a auf einer parallelen zur t-Achse liegen

Die 2. Ableitung:

$f''_{a}(t) = \frac{58\cdot a \cdot e^{at}\cdot a\cdot(e^{at}+29)^{2} - 2 \cdot(e^{at} + 29)\cdot e^{at}\cdot a \cdot 58 \cdot a \cdot e^{at} }{(e^{at} + 29) ^{4} } =$
$= \frac{58\cdot a^{2} \cdot e^{at}\cdot (e^{at} + 29) - 2\cdot a^{2} \cdot (e^{at})^{2}\cdot 58 }{(e^{at}+29)^{3}} = 58\cdot a^{2}\cdot \frac{(e^{at})^{2} + 29\cdot e^{at} - 2(e^{at})^2}{(e^{at} + 29)^{3}} = 58\cdot a^{2} \cdot \frac {29\cdot e^{at} - e^{2at}}{(e^{at}+29)^{3}}$

Suche nach dem Wendepunkt:

$f''_{a}(t) = 58\cdot a^{2} \cdot \frac {29\cdot e^{at} - e^{2at}}{(e^{at}+29)^{3}} = 0$

$58\cdot a^{2} (29\cdot e^{at} - e^{2at}) = 0$    $| : 58\cdot a^{2} \Rightarrow (a \neq 0)$
$(29\cdot e^{at} - e^{2at}) = 0$          | + e^{2at}
$29 \cdot e^{at} = e^{2at}$                | ln
$ln(29\cdot e^{at}) = ln(e^{2at})$
ln(29) + ln(e^{at}) = ln(e^{2at})            | - ln(e^{at})
ln(29) = ln(e^{2at}) - ln(e^{at})
$ln(29) = 2\cdot a\cdot t \cdot ln(e) - a\cdot t\cdot ln(e)$    (ln(e)=1)
$ln(29) = 2\cdot a\cdot t - a\cdot t$
$ln(29) = a\cdot t$
$t = \frac {ln29} {a}$