Lösung: Wendepunkte: Unterschied zwischen den Versionen

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[[http://de.wikipedia.org/wiki/Produktregel Hilfe zur Produktregel]]
 
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Wenn die dritte Ableitung am möglichen Wendepunkt ungleich Null ist, liegt ein Wendepunkt vor.
 
Wenn die dritte Ableitung am möglichen Wendepunkt ungleich Null ist, liegt ein Wendepunkt vor.
  
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<math>\rightarrow</math>  WP <math>( a + 2 / 2 )</math>
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Version vom 19. Januar 2010, 23:29 Uhr

y = f_a (x) = ( x - a )\cdot e^{a+2-x} mit x\in R ; a\in R

Inhaltsverzeichnis

Wendepunkte

Zweite Ableitung: siehe Überprüfung des Extrempunkts; 2. Möglichkeit

f_a^{''} (x) = e^{a+2-x}\cdot ( x - a - 2 )

Um mögl. Wendepunkte zu bestimmen benötigt man die zweite Ableitung.

Mögl. Wendepunkte tretten für f_a^{''} (x) = 0\; auf. 

f_a^{''} (x) = 0\;

e^{a+2-x}\cdot ( x - a - 2 ) = 0    \;\;\;\;\;\; | \; e^{a+2-x} > 0

    \rightarrow \; ( x - a - 2 ) = 0 \;\;\;\;\;\; | \;  + 2 ; + a

               x = a + 2\;

Möglicher Wendepunkt bei x = a + 2 \; 


f_a ( a + 2 ) = ( a + 2 - a )\cdot e^{a+2-(a + 2 )}

                       = 2\cdot e^{a+2-a - 2 )}

                       = 2\cdot e^0

                       = 2\;

\rightarrow mög. WP \; ( a + 2 / 2 )


Überprüfung des Wendepunkts

1. Möglichkeit

H-Methode , VZW des Krümmungsverhaltens 

f_a^{''} ( a + 2  - h ) = e^{a + 2 - (a + 2 - h )}\cdot ( a + 2 - h - a - 2 )

                                          = e^{a + 2 - a- 2 + h }\cdot (- h)

                                          = e^{h }\cdot ( -h )

                                          = -h\cdot e^{h }

                                          lim h --> 0 ............

f_a^{''} ( a + 2 +  h ) = e^{a + 2 - (a + 2 + h )}\cdot ( a + 2 + h - a - 2 )

                                          = e^{a + 2 - a- 2 - h }\cdot (+ h)

                                          = e^{-h }\cdot ( +h )

                                          = +h\cdot e^{-h }

                                          lim h --> 0 ............


\rightarrow VZW bei x = a + 2\;
\rightarrow Wendepunkt bei \;( a + 2 / 2 )


zur Verdeutlichung

Krümmungsverhalten
x<2+a x=2+a x>2+a
ea + 2 - x + +
( x - a - 2 ) - +
fa ( x ) - +

\rightarrow WP ( a + 2 / 2 )\;


2. Möglichkeit

Verwendung der dritten Ableitung

f_a (x) = e^{a+2-x}\cdot ( x - a)

f_a^{'} (x) = e^{a+2-x}\cdot ( 1+a-x )

f_a^{''} (x) = e^{a+2-x}\cdot ( x - a - 2 )


Um die dritte Ableitung zu bekommen muss man hier die Produktregel verwenden. [Hilfe zur Produktregel] 

f_a^{'''} (x) = e^{a+2-x}\cdot ( x - a - 2 )\cdot (-1) + 1\cdot e^{a+2-x}
                               = e^{a+2-x}\cdot ( a + 2 - x + 1 )
                               = ( a + 3 - x )\cdot e^{a+2-x}

Wenn die dritte Ableitung am möglichen Wendepunkt ungleich Null ist, liegt ein Wendepunkt vor. 

f_a^{'''} ( a + 2 ) = ( a + 3 - ( a + 2 ))\cdot e^{a + 2 - ( a + 2 )}
                                     = ( a + 3 - a - 2 ) \cdot e^{a + 2 -  a - 2 }
                                     = 1\cdot e^{0}
                                     = 1\; 
                                     > 0\;

\rightarrow WP ( a + 2 / 2 )\;

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