Lösung: Wendepunkte: Unterschied zwischen den Versionen
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Zweite Ableitung: siehe Überprüfung des Extrempunkts; 2. Möglichkeit | Zweite Ableitung: siehe Überprüfung des Extrempunkts; 2. Möglichkeit | ||
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==== 1. Möglichkeit ==== | ==== 1. Möglichkeit ==== | ||
+ | |||
H-Methode , VZW des Krümmungsverhaltens | H-Methode , VZW des Krümmungsverhaltens | ||
− | + | <math>f_a^{''} ( a + 2 - h ) = e^{a + 2 - (a + 2 - h )}\cdot ( a + 2 - h - a - 2 )</math><br /> | |
− | + | <math>= e^{a + 2 - a- 2 + h }\cdot (- h)</math><br /> | |
− | = e^h ( -h ) | + | <math>= e^{h }\cdot ( -h )</math><br /> |
− | = -h e^h | + | <math>= -h\cdot e^{h }</math><br /> |
lim h --> 0 ............ | lim h --> 0 ............ | ||
− | + | <math>f_a^{''} ( a + 2 + h ) = e^{a + 2 - (a + 2 + h )}\cdot ( a + 2 + h - a - 2 )</math><br /> | |
− | + | <math>= e^{a + 2 - a- 2 - h }\cdot (+ h)</math><br /> | |
− | = e^h ( h ) | + | <math>= e^{-h }\cdot ( +h )</math><br /> |
− | = h e^h | + | <math>= +h\cdot e^{-h }</math><br /> |
− | + | ||
lim h --> 0 ............ | lim h --> 0 ............ | ||
− | + | <math>\rightarrow VZW bei x = a + 2</math><br /> | |
− | + | <math>\rightarrow Wendepunkt bei ( a + 2 / 2 )</math> | |
+ | |||
<u>zur Verdeutlichung</u> | <u>zur Verdeutlichung</u> |
Version vom 20. Januar 2010, 00:13 Uhr
mit
;
Wendepunkte
Um mögl. Wendepunkte zu bestimmen benötigt man die zweite Ableitung.
Zweite Ableitung: siehe Überprüfung des Extrempunkts; 2. Möglichkeit
Mögl. Wendepunkte tretten für auf.
Möglicher Wendepunkt bei
mög. WP
Überprüfung des Wendepunkts
1. Möglichkeit
H-Methode , VZW des Krümmungsverhaltens
lim h --> 0 ............
lim h --> 0 ............
zur Verdeutlichung
x<2+a | x=2+a | x>2+a | |||
---|---|---|---|---|---|
ea + 2 - x | + | + | |||
( x - a - 2 ) | - | + | |||
fa ( x ) | - | + |
--> WP ( a + 2 / 2 )
2. Möglichkeit
Verwendung der dritten Ableitung
fa (x) = ( x - a ) ea + 2 - x
fa' (x) = ea + 2 - x ( 1 + a - x )
fa (x) = ea + 2 - x ( x - a - 2 )
Um die dritte Ableitung zu bekommen muss man hier die Produktregel verwenden. [Hilfe zur Produktregel]
fa (x) = ea + 2 - x ( x - a - 2 ) (-1) + 1 ea + 2 - x
= ea + 2 - x ( a + 2 - x + 1 ) = ( a + 3 - x ) ea + 2 - x
Wenn die dritte Ableitung am möglichen Wendepunkt ungleich Null ist, liegt ein Wendepunkt vor.
fa ( a + 2 ) = ( a + 3 - ( a + 2 )) ea + 2 - ( a + 2 )
= ( a + 3 - a - 2 ) ea + 2 - a - 2 ) = 1 e^0 = 1 > 0
--> WP ( a + 2 / 2 )