Lösung a) aa): Unterschied zwischen den Versionen

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==Untersuchen sie das Verhalten der Funktionen f<sub>a</sub> für t -> <math>\pm  \infty </math> und geben sie für die Asymptoten Gleichungen an.==
 
==Untersuchen sie das Verhalten der Funktionen f<sub>a</sub> für t -> <math>\pm  \infty </math> und geben sie für die Asymptoten Gleichungen an.==
  
Verhalten gegen <math>+\infty </math>:
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===<u>Verhalten gegen <math>+\infty </math></u>:===
 
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<math>\lim_{t \to \infty } f(t) = \lim_{t \to \infty } \frac{2\cdot e^{at} }{e^{at}+29 } = 2 \cdot \lim_{t \to \infty }\frac{e^{at} }{e^{at}+29 } = 2\cdot 1 = 2</math>
 
<math>\lim_{t \to \infty } f(t) = \lim_{t \to \infty } \frac{2\cdot e^{at} }{e^{at}+29 } = 2 \cdot \lim_{t \to \infty }\frac{e^{at} }{e^{at}+29 } = 2\cdot 1 = 2</math>
  
 
Da stets gilt a > 0, geht der Term <math>\lim_{t \to \infty } e^{at} </math> immer gegen <math>+\infty </math>;
 
Da stets gilt a > 0, geht der Term <math>\lim_{t \to \infty } e^{at} </math> immer gegen <math>+\infty </math>;
Daraus folgt nun, dass der Term <math>\lim_{t \to \infty } \frac{2\cdot e^{at} }{e^{at}+29 }</math> gegen 1 gehen muss, da 29 im Vergleich zu <math>+\infty </math> verschwinden klein ist
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Daraus folgt nun, dass der Term <math>\lim_{t \to \infty } \frac{2\cdot e^{at} }{e^{at}+29 }</math> gegen 1 gehen muss, da 29 im Vergleich zu <math>+\infty </math> verschwinden klein ist.
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===<u>Verhalten gegen <math>-\infty </math></u>:===
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<math>\lim_{t \to - \infty } f(t) = 2\cdot \lim_{t \to -\infty } \frac{e^{at}}{e^{at}+29 } = 2\cdot \frac{0}{29} = 0</math>
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Da stets gilt a > 0, geht der Term <math>\lim_{t \to - \infty } e^{at} </math> immer gegen <math>0</math>; Daraus folgt, dass der Zähler gegen 0 geht und der Nenner gegen 29. Wenn man nun 0 durch 29 teilt, erkennt man, dass der Grenzwert <math>\lim_{t \to -\infty } f(t) </math> gegen 0 geht.

Version vom 3. Januar 2010, 15:37 Uhr

y = f_{a}(t) = \frac{2\cdot e^{at}}{e^{at}+29}, t\in R, a\in R, a>0

Untersuchen sie das Verhalten der Funktionen fa für t -> \pm  \infty und geben sie für die Asymptoten Gleichungen an.

Verhalten gegen +\infty :

\lim_{t \to \infty } f(t) = \lim_{t \to \infty } \frac{2\cdot e^{at} }{e^{at}+29 } = 2 \cdot \lim_{t \to \infty }\frac{e^{at} }{e^{at}+29 } = 2\cdot 1 = 2

Da stets gilt a > 0, geht der Term \lim_{t \to \infty } e^{at} immer gegen +\infty ; Daraus folgt nun, dass der Term \lim_{t \to \infty } \frac{2\cdot e^{at} }{e^{at}+29 } gegen 1 gehen muss, da 29 im Vergleich zu +\infty verschwinden klein ist.

Verhalten gegen -\infty :

\lim_{t \to - \infty } f(t) = 2\cdot \lim_{t \to -\infty } \frac{e^{at}}{e^{at}+29 } = 2\cdot \frac{0}{29} = 0

Da stets gilt a > 0, geht der Term \lim_{t \to - \infty } e^{at} immer gegen 0; Daraus folgt, dass der Zähler gegen 0 geht und der Nenner gegen 29. Wenn man nun 0 durch 29 teilt, erkennt man, dass der Grenzwert \lim_{t \to -\infty } f(t) gegen 0 geht.