2006 I: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 5. April 2010, 20:35 Uhr

Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2006 Infinitesimalrechnung I

Download der Originalaufgaben: Abitur 2006 LK Mathematik Bayern - Lösung gesamt

Erarbeitet von Lukas Baumüller, Florian Wilk

Aufgabe 1

Gegeben ist die Funktion f: x→(x-1) $\cdot$ lnx mit der Definitionsmenge D= $\mathbb{R}$ ⁺. Der Graph von f wird mit G_f bezeichnet.
Hinweis: $\lim_{x\to 0+} (x^n \cdot lnx)=0$ für n $\in \mathbb{N}$ , darf ohne Beweis verwendet werden.

a) Geben Sie die Nullstelle von f an und untersuchen Sie das Verhalten von f an den Rändern der Definitionsmenge.

3 BE

b) Weisen Sie nach, dass G_f an der Stelle x=1 einen Punkt mit waagrechter Tangente besitzt. Bestimmen Sie das Monotonieverhalten von f. [Zur Kontrolle: $f'(x)=lnx+1-{1 \over x}$ ]

5 BE

c) Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten von G_f . Berechnen Sie f(3) und skizzieren Sie G_f aufgrund der bisherigen Ergebnisse.

5 BE

d) Begründen Sie, dass f im Intervall ]0;1] umkehrbar ist. Geben Sie Definitions- und Wertemenge der zugehörigen Umkehrfunktion g an.
Bestimmen Sie $\lim_{x\to0+}g'(x)$ .

4 BE

e) G_f und die Koordinatenachsen begrenzen für x $\le$ 1 ein Flächenstück, das sich ins Unendliche erstreckt. Zeigen Sie, dass dieses Flächenstück den endlichen Inhalt 0,75 hat.

8 BE

Aufgabe 2


Aus rechteckigen Kunststoffplatten von 1 Meter Breite und 2 Meter Höhe wurden Stücke abgeschnitten, wobei die Schnittkurve p_t Teil einer Parabel ist, die der Gleichung y=tx²+2-t genügt. Für den Parameter t gilt: $0<t\le2$ . In nebenstehender Skizze ist der Fall t=1,6 dargestellt.

a) Zeigen Sie, dass jede Schnittkurve p_t durch den Punkt (1/2) verläuft. Beschreiben Sie die Bewegung des Parabelscheitels, wenn t bei 2 beginnend alle Werte des Intervalls ]0;2] durchläuft.

Bemerkung: In der 2ten Zeile wurde für t 1 eingesetzt. Allerdings muss hier t stehen bleiben, nur für x wird 1 eingesetzt.-> ERLEDIGT

3 BE

Aus der Restplatte werden Rechtecke – wie in der Skizze schraffiert (markiert) dargestellt – ausgeschnitten. Je eine Seite des Rechtecks soll auf dem unteren bzw. auf dem rechten Rand der Platte zu liegen kommen, eine Ecke des Rechtecks soll auf der Schnittkurve liegen.

b) Zeigen Sie, dass für den Inhalt eines solchen Rechtecks gilt
A_t(x)=-tx³+tx²+(t-2)x+2-t (0 $\le$ x $\le$ 1).

3 BE

Der Inhalt des ausgeschnittenen Rechtecks soll möglichst groß sein (Extremwertproblem).

c) Die unten stehende Abbildung zeigt einige Graphen der Scharfunktionen A_t . Beschreiben Sie, was aufgrund der Abbildung im Fall 0<t<1,5 für die Lösung des Extremwertproblems zu vermuten ist.
Beweisen Sie Ihre Vermutung rechnerisch.

6 BE

d) Im Fall t=1,6 ist die erste Ableitung von A_t an den Stellen $x_1={1 \over 6}$ und $x_2={1 \over 2}$ gleich Null
(Nachweis nicht erforderlich).
Bestätigen Sie durch Berechnung geeigneter Werte von A_t , dass für t=1,6 zwei Rechtecke den maximalen Flächeninhalt aufweisen.

3 BE

@@ Zeile 107: / Zeile 107: @@
 <br /> <br />
-;''Aus der Restplatte werden Rechtecke – wie in der Skizze schraffiert dargestellt – ausgeschnitten. Je eine Seite des Rechtecks soll auf dem unteren bzw. auf dem rechten Rand der Platte zu liegen kommen, eine Ecke des Rechtecks soll auf der Schnittkurve liegen.'' <br /> <br />
+;''Aus der Restplatte werden Rechtecke – wie in der Skizze schraffiert (markiert) dargestellt – ausgeschnitten. Je eine Seite des Rechtecks soll auf dem unteren bzw. auf dem rechten Rand der Platte zu liegen kommen, eine Ecke des Rechtecks soll auf der Schnittkurve liegen.'' <br /> <br />
 ;b) Zeigen Sie, dass für den Inhalt eines solchen Rechtecks gilt:

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