Lösung a) aa): Unterschied zwischen den Versionen
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K (→Zeigen Sie, dass alle Funktionen fa monoton steigend sind) |
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Da die e-Fkt. nie 0 werden kann, sondern dieser sich immer nur annähert, gibt es keine mögliche Stelle für einen Extrempunkt. Somit lässt sich folgern, dass die Funktion entweder streng monoton steigend oder fallend ist. | Da die e-Fkt. nie 0 werden kann, sondern dieser sich immer nur annähert, gibt es keine mögliche Stelle für einen Extrempunkt. Somit lässt sich folgern, dass die Funktion entweder streng monoton steigend oder fallend ist. | ||
− | Beweis dafür, dass die Funktion streng monoton steigend ist: | + | '''Beweis dafür, dass die Funktion streng monoton steigend ist:''' |
− | Da man nun weiß, dass es keinen Extrempunkt gibt, an der sich das Monotonieverhalten ändern kann, lässt sich sehr leicht aus den Grenzwerten gegen <math>\pm \infty </math>, | + | Da man nun weiß, dass es keinen Extrempunkt gibt, an der sich das Monotonieverhalten ändern kann, lässt sich sehr leicht aus den Grenzwerten gegen <math>\pm \infty </math> erkennnen, dass der Verlauf des Graphen stets steigend ist. |
Der Grenzwert t -><math> - \infty </math> geht gegen 0<br /> | Der Grenzwert t -><math> - \infty </math> geht gegen 0<br /> | ||
Der Grenzwert t -><math> \infty </math> geht gegen 2 | Der Grenzwert t -><math> \infty </math> geht gegen 2 | ||
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Anhand dieser Grenzwerte und dem fehlenden Extrempunkt geht deutlich hervor, dass die Funktion einen streng monoton steigenden Verlauf nimmt, der sich 0 und 2 annähert | Anhand dieser Grenzwerte und dem fehlenden Extrempunkt geht deutlich hervor, dass die Funktion einen streng monoton steigenden Verlauf nimmt, der sich 0 und 2 annähert | ||
Version vom 25. Januar 2010, 23:15 Uhr
,
Untersuchen sie das Verhalten der Funktionen fa für t ->
und geben sie für die Asymptoten Gleichungen an.
Verhalten gegen :
Da stets gilt a > 0, geht der Term immer gegen
;
Daraus folgt nun, dass der Term
gegen 1 gehen muss, da 29 im Vergleich zu
verschwinden klein ist.
Verhalten gegen :
Da stets gilt a > 0, geht der Term immer gegen 0; Daraus folgt, dass der Zähler gegen 0 geht und der Nenner gegen 29. Wenn man nun 0 durch 29 teilt, erkennt man, dass der Grenzwert
gegen 0 geht.
Gleichungen der Asymptoten:
- waagrechte Asymptote bei 0, wenn t ->
geht
- waagrechte Asymptote bei 2, wenn t ->
geht
Zeigen Sie, dass alle Funktionen fa monoton steigend sind
Suche nach möglichem Extrempunkt; falls kein Extrempunkt vorhanden ist, zeigt dies, dass die Funktion monoton steigend oder fallend sein muss.
Da die e-Fkt. nie 0 werden kann, sondern dieser sich immer nur annähert, gibt es keine mögliche Stelle für einen Extrempunkt. Somit lässt sich folgern, dass die Funktion entweder streng monoton steigend oder fallend ist.
Beweis dafür, dass die Funktion streng monoton steigend ist:
Da man nun weiß, dass es keinen Extrempunkt gibt, an der sich das Monotonieverhalten ändern kann, lässt sich sehr leicht aus den Grenzwerten gegen erkennnen, dass der Verlauf des Graphen stets steigend ist.
Der Grenzwert t -> geht gegen 0
Der Grenzwert t -> geht gegen 2
Anhand dieser Grenzwerte und dem fehlenden Extrempunkt geht deutlich hervor, dass die Funktion einen streng monoton steigenden Verlauf nimmt, der sich 0 und 2 annähert