Lösung b): Unterschied zwischen den Versionen

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==Zeichnen sie die Graphen G<sub>0,75</sub> und G<sub>1</sub> in ein und dasselbe Koordinatensystem und schlussfolgern Sie, welchen Einfluss der Parameter a auf den Verlauf der Graphen G<sub>a</sub> hat==
 
==Zeichnen sie die Graphen G<sub>0,75</sub> und G<sub>1</sub> in ein und dasselbe Koordinatensystem und schlussfolgern Sie, welchen Einfluss der Parameter a auf den Verlauf der Graphen G<sub>a</sub> hat==

Version vom 23. Januar 2010, 13:46 Uhr

y = f_{a}(t) = \frac{2\cdot e^{at}}{e^{at}+29}, t\in R, a\in R, a>0

f'_{a} (t) = \frac{58\cdot a\cdot e^{at} }{(e^{at}+29) ^{2}}

Inhaltsverzeichnis

Untersuchen sie die Funktionen fa auf Nullstellen und lokale Extremstellen

Suche nach Nullstellen:

f_{a}(t) = \frac{2\cdot e^{at}}{e^{at}+29} = 0 \Rightarrow 2\cdot e^{at} = 0 \Rightarrow e^{at} = 0 (f)

\Rightarrow keine Nullstellen, da die e-Funktion nie 0 wird und somit der Ausdruck e^{at}\; ebenfalls nie 0 werden kann

Suche nach Extremstellen:

f'_{a} (t) = \frac{58\cdot a\cdot e^{at} }{(e^{at}+29) ^{2}} = 0 \Rightarrow 58\cdot a \cdot e^{at} = 0 \Rightarrow e^{at} = 0 (f)

\Rightarrow keine Extremstellen, da die e-Funktion nie 0 wird und somit der Ausdruck e^{at}\; ebenfalls nie 0 werden kann

Jeder Graph Ga bestitzt genau einen Wendepunkt Wa. Zeigen sie, dass die Wendepunkte Wa auf einer parallelen zur t-Achse liegen

Die 2. Ableitung:

f''_{a}(t) = \frac{58\cdot a \cdot e^{at}\cdot a\cdot(e^{at}+29)^{2} - 2 \cdot(e^{at} + 29)\cdot e^{at}\cdot a \cdot 58 \cdot a \cdot e^{at} }{(e^{at} + 29) ^{4} } =
= \frac{58\cdot a^{2} \cdot e^{at}\cdot (e^{at} + 29) - 2\cdot a^{2} \cdot (e^{at})^{2}\cdot 58 }{(e^{at}+29)^{3}} = 58\cdot a^{2}\cdot \frac{(e^{at})^{2} + 29\cdot e^{at} - 2(e^{at})^2}{(e^{at} + 29)^{3}} = 58\cdot a^{2} \cdot \frac {29\cdot e^{at} - e^{2at}}{(e^{at}+29)^{3}}

Suche nach dem Wendepunkt:

f''_{a}(t) = 58\cdot a^{2} \cdot \frac {29\cdot e^{at} - e^{2at}}{(e^{at}+29)^{3}} = 0 

58\cdot a^{2} (29\cdot e^{at} - e^{2at}) = 0                              | : 58\cdot a^{2} \Rightarrow (a \neq 0)
       (29\cdot e^{at} - e^{2at}) = 0                              | + e^{2at}\;  
               29 \cdot e^{at} = e^{2at}                            | ln\;
           ln(29\cdot e^{at}) = ln(e^{2at})
      ln(29) + ln(e^{at}) = ln(e^{2at})\;                       | - ln(e^{at})\;
                ln(29) = ln(e^{2at}) - ln(e^{at})\;
                ln(29) = 2\cdot a\cdot t \cdot ln(e) - a\cdot t\cdot ln(e)    (ln(e)=1)
                ln(29) = 2\cdot a\cdot t - a\cdot t
                ln(29) = a\cdot t
                      t = \frac {ln29} {a}

Beweis für Wendepunkt:

1. Möglichkeit: Die H-Methode

Man nähert sich dem möglichen Wendepunkt mit Hilfe eines Grenzwertes an und versucht herauszufinden, ob ein Vorzeichenwechsel am Wendepunkt stattfindet. Falls es einen Vorzeichenwechsel geben sollte, ist dies der eindeutige Beweis für einen Wendepunkt an dieser Stelle.

1. Teil: f''_{a}(\frac {ln29} {a}+h) 

f''_{a}(\frac {ln29} {a}+h) = \lim_{h \to 0} 58\cdot a^{2}\cdot \frac {29\cdot e^{a\cdot(\frac {ln29} {a}+h)} - e^{2a\cdot(\frac {ln29} {a}+h)}}{(e^{a\cdot (\frac {ln29} {a}+h)}+29)^{3}} = 58\cdot a^{2}\lim_{h \to 0} \frac {29\cdot e^{(\frac {a\cdot ln29} {a} + ah)} - e^{(\frac {2a\cdot ln29} {a} + 2ah)}}{(e^{(\frac {a\cdot ln29} {a} + ah)} + 29)^{3}} = 
= 58\cdot a^{2}\lim_{h \to 0} \frac {29\cdot e^{(ln29 + ah)} - e^{(2\cdot ln29 + 2ah)}}{(e^{(ln29 + ah)} + 29)^{3}}= 58\cdot a^{2}\lim_{h \to 0} \frac {29\cdot e^{ln29}\cdot e^{ah} - e^{ln(29^{2})}\cdot e^{2ah}}{(e^{ln29}\cdot e^{ah} + 29)^{3}}=
= 58\cdot a^{2}\lim_{h \to 0} \frac {29\cdot 29\cdot e^{ah} - 29\cdot 29\cdot e^{2ah}}{(ln29\cdot e^{ah} + 29)^{3}}= 58\cdot 29^{2}\cdot a^{2}\lim_{h \to 0} \frac {e^{ah} - e^{2ah}}{(ln29\cdot e^{ah} + 29)^{3}}=
= 58\cdot 29^{2}\cdot a^{2}\lim_{h \to 0} (\frac {1}{(ln29\cdot e^{ah} + 29)^{3}}) \lim_{h \to 0} (e^{ah} - e^{2ah})


Da die Faktoren 58\cdot 29^{2}\cdot a^{2}\lim_{h \to 0} (\frac {1}{(ln29\cdot e^{ah} + 29)^{3}}) alle positiv sind, kann ein möglicher Vorzeichenwechsel nur von dem Term \lim_{h \to 0} (e^{ah} - e^{2ah}) abhängig sein. Dieser wird nun im folgenden betrachtet:


\lim_{h \to 0} (e^{ah} - e^{2ah})= \lim_{h \to 0} (e^{ah} - e^{(ah)^{2}}) >0

Der Zähler ist größer 0, da gilt: e^{ah} > e^{(ah)^{2}}; dies liegt daran, dass der Faktor (ah)^{2}\; durch das Quadrat noch kleiner wird und somit der Term noch stärker gegen 0 strebt. Positiv ist der Zähler nun, da e^{ah}\; gegen 1+ geht.

\Rightarrow f''_{a}(\frac {ln29} {a}+h) > 0


2. Teil: f''_{a}(\frac {ln29} {a}-h) 

f''_{a}(\frac {ln29} {a}-h) = \lim_{h \to 0} 58\cdot a^{2}\cdot \frac {29\cdot e^{a\cdot(\frac {ln29} {a}-h)} - e^{2a\cdot(\frac {ln29} {a}-h)}}{(e^{a\cdot (\frac {ln29} {a}-h)}+29)^{3}} = 58\cdot a^{2}\lim_{h \to 0} \frac {29\cdot e^{(\frac {a\cdot ln29} {a} - ah)} - e^{(\frac {2a\cdot ln29} {a} - 2ah)}}{(e^{(\frac {a\cdot ln29} {a} - ah)} + 29)^{3}} = 
= 58\cdot a^{2}\lim_{h \to 0} \frac {29\cdot e^{(ln29 - ah)} - e^{(2\cdot ln29 - 2ah)}}{(e^{(ln29 - ah)} + 29)^{3}}= 58\cdot a^{2}\lim_{h \to 0} \frac {29\cdot \frac {e^{ln29}} {e^{ah}} - \frac {e^{ln(29)^{2}}}{e^{2ah}}}{(\frac {e^{ln29}}{e^{ah}} + 29)^{3}}=
= 58\cdot a^{2}\lim_{h \to 0} \frac {29\cdot 29\cdot \frac {1} {e^{ah}} - 29\cdot 29\cdot \frac {1} {e^{2ah}}}{(\frac {ln29} {e^{ah}} + 29)^{3}}= 58\cdot 29^{2}\cdot a^{2}\lim_{h \to 0} \frac {\frac {1} {e^{ah}} - \frac {1} {e^{2ah}}}{(\frac {ln29} {e^{ah}} + 29)^{3}}=
= 58\cdot 29^{2}\cdot a^{2}\lim_{h \to 0} (\frac {1}{(\frac {ln29} {e^{ah}} + 29)^{3}}) \lim_{h \to 0} (\frac {1} {e^{ah}} - \frac {1} {e^{2ah}})


Da die Faktoren 58\cdot 29^{2}\cdot a^{2}\lim_{h \to 0} (\frac {1}{(\frac {ln29} {e^{ah}} + 29)^{3}}) alle positiv sind, kann ein möglicher Vorzeichenwechsel nur von dem Term \lim_{h \to 0} (\frac {1} {e^{ah}} - \frac {1} {e^{2ah}}) abhängig sein. Dieser wird nun im folgenden betrachtet:


\lim_{h \to 0} (\frac {1} {e^{ah}} - \frac {1} {e^{2ah}})= \lim_{h \to 0} (\frac {1} {e^{ah}} - \frac {1} {e^{(ah)^{2}}}) <0

Der Zähler ist kleiner 0, da gilt: e^{ah} < e^{(ah)^{2}}; dies liegt daran, dass der Faktor (ah)^{2}\; durch das Quadrat noch kleiner wird und somit der Term noch stärker gegen 0 strebt. Da jedoch nun die Kehrwerte gebildet werden, wird der Term \frac {1} {e^{(ah)^{2}}}\; größer als der Term \frac {1} {e^{(ah)}}\; Negativ ist der Zähler nun, da e^{ah}\; gegen 1- geht.

2. Möglichkeit: Vorzeichentabelle

3. Möglichkeit: Vorzeichentabelle

Zeichnen sie die Graphen G0,75 und G1 in ein und dasselbe Koordinatensystem und schlussfolgern Sie, welchen Einfluss der Parameter a auf den Verlauf der Graphen Ga hat

Der Graph

Graph-facharbeit1.png

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