Lösung: Wendepunkte: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 23. Januar 2010, 01:08 Uhr

$y = f_a (x) = ( x - a )\cdot e^{a+2-x}$ mit $x\in R$ ; $a\in R$

Inhaltsverzeichnis

1 Wendepunkte
- 1.1 Überprüfung des Wendepunkts
  - 1.1.1 1. Möglichkeit
  - 1.1.2 2. Möglichkeit

Wendepunkte

Zweite Ableitung: siehe Überprüfung des Extrempunkts; 2. Möglichkeit

$f_a^{''} (x) = e^{a+2-x}\cdot ( x - a - 2 )$

Um mögl. Wendepunkte zu bestimmen benötigt man die zweite Ableitung.

Mögl. Wendepunkte tretten für $f_a^{''} (x) = 0\;$ auf.

$f_a^{''} (x) = 0\;$

$e^{a+2-x}\cdot ( x - a - 2 ) = 0 \;\;\;\;\;\; | \; e^{a+2-x} > 0$

$\rightarrow \; ( x - a - 2 ) = 0 \;\;\;\;\;\;\;\; | \; + 2 ; + a$

$x = a + 2\;$

Möglicher Wendepunkt bei $x = a + 2 \;$

$f_a ( a + 2 ) = ( a + 2 - a )\cdot e^{a+2-(a + 2 )}$

$= 2\cdot e^{a+2-a - 2 )}$

$= 2\cdot e^0$

$= 2\;$

$\rightarrow$ mög. WP $\; ( a + 2 / 2 )$

Überprüfung des Wendepunkts

1. Möglichkeit

H-Methode , VZW des Krümmungsverhaltens

$\lim_{h\to 0}f_a^{''} ( a + 2 - h ) = \lim_{h\to 0}e^{a + 2 - (a + 2 - h )}\cdot ( a + 2 - h - a - 2 )$

$=\lim_{h\to 0} e^{a + 2 - a- 2 + h }\cdot (- h)$

$= \lim_{h\to 0}e^{h }\cdot ( -h )$

$= \lim_{h\to 0}-h\cdot e^{h }$

$\lim_{h\to 0}f_a^{''} ( a + 2 - h )<0$

$\lim_{h\to 0}f_a^{''} ( a + 2 + h ) =\lim_{h\to 0} e^{a + 2 - (a + 2 + h )}\cdot ( a + 2 + h - a - 2 )$

$=\lim_{h\to 0} e^{a + 2 - a- 2 - h }\cdot (+ h)$

$= \lim_{h\to 0}e^{-h }\cdot ( +h )$

$= \lim_{h\to 0}+h\cdot e^{-h }$

$\lim_{h\to 0}f_a^{''} ( a + 2 + h )>0$

$\rightarrow$ VZW bei $x = a + 2\;$
$\rightarrow$ Wendepunkt bei $\;( a + 2 / 2 )$

zur Verdeutlichung

Krümmungsverhalten

e^{a + 2 - x}	+	+

( x - a - 2 )	-	+

f_a ( x )	-	+

$\rightarrow$ WP $( a + 2 / 2 )\;$

2. Möglichkeit

Verwendung der dritten Ableitung

$f_a (x) = e^{a+2-x}\cdot ( x - a)$

$f_a^{'} (x) = e^{a+2-x}\cdot ( 1+a-x )$

$f_a^{''} (x) = e^{a+2-x}\cdot ( x - a - 2 )$

Um die dritte Ableitung zu bekommen muss man hier die Produktregel verwenden. [Hilfe zur Produktregel]

$f_a^{'''} (x) = e^{a+2-x}\cdot ( x - a - 2 )\cdot (-1) + 1\cdot e^{a+2-x}$

$= e^{a+2-x}\cdot ( a + 2 - x + 1 )$

$= ( a + 3 - x )\cdot e^{a+2-x}$

Wenn die dritte Ableitung am möglichen Wendepunkt ungleich Null ist, liegt ein Wendepunkt vor.

$f_a^{'''} ( a + 2 ) = ( a + 3 - ( a + 2 ))\cdot e^{a + 2 - ( a + 2 )}$

$= ( a + 3 - a - 2 ) \cdot e^{a + 2 - a - 2 }$

$= 1\cdot e^{0}$

$= 1\;$

$> 0\;$

$\rightarrow$ WP $( a + 2 / 2 )\;$

@@ Zeile 39: / Zeile 39: @@
 : <math>\lim_{h\to 0}f_a^{''} ( a + 2  - h ) = \lim_{h\to 0}e^{a + 2 - (a + 2 - h )}\cdot ( a + 2 - h - a - 2 )</math><br />
-::::::                                           <math>=\lim_{h\to 0} e^{a + 2 - a- 2 + h }\cdot (- h)</math><br />
+:::::::                                           <math>=\lim_{h\to 0} e^{a + 2 - a- 2 + h }\cdot (- h)</math><br />
-::::::                                           <math>= \lim_{h\to 0}e^{h }\cdot ( -h )</math><br />
+:::::::                                           <math>= \lim_{h\to 0}e^{h }\cdot ( -h )</math><br />
-::::::                                           <math>= \lim_{h\to 0}-h\cdot e^{h }</math><br />
+:::::::                                           <math>= \lim_{h\to 0}-h\cdot e^{h }</math><br />
-:: <math>\lim_{h\to 0}f_a^{''} ( a + 2 -  h )<0</math>
+: <math>\lim_{h\to 0}f_a^{''} ( a + 2 -  h )<0</math>
 : <math>\lim_{h\to 0}f_a^{''} ( a + 2 +  h ) =\lim_{h\to 0} e^{a + 2 - (a + 2 + h )}\cdot ( a + 2 + h - a - 2 )</math><br />
-::::::                                           <math>=\lim_{h\to 0} e^{a + 2 - a- 2 - h }\cdot (+ h)</math><br />
+:::::::                                           <math>=\lim_{h\to 0} e^{a + 2 - a- 2 - h }\cdot (+ h)</math><br />
-::::::                                           <math>= \lim_{h\to 0}e^{-h }\cdot ( +h )</math><br />
+:::::::                                           <math>= \lim_{h\to 0}e^{-h }\cdot ( +h )</math><br />
-::::::                                           <math>= \lim_{h\to 0}+h\cdot e^{-h }</math><br />
+:::::::                                           <math>= \lim_{h\to 0}+h\cdot e^{-h }</math><br />
-:: <math>\lim_{h\to 0}f_a^{''} ( a + 2 +  h )>0</math>
+: <math>\lim_{h\to 0}f_a^{''} ( a + 2 +  h )>0</math>
 <math>\rightarrow</math>  VZW bei <math>x = a + 2\;</math><br />

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